10. Идентификация собственных векторов и собственных значений матрицы:

• собственные значения  квадратной матрицы А являются действительными корнями уравнения det (А – λE) = 0, где E – единичная матрица, порядок которой совпадает с порядком матрицы А;

• координаты собственного вектора р, относящегося к собственному значению λ, находятся из матричного уравнения (А – λE)р = 0, в котором р – вектор-столбец соответствующих координат собственного вектора матрицы А;

• собственный вектор матрицы, относящийся к собственному значению λ, определяется с точностью до произвольного числового коэффициента;

• собственные векторы, относящиеся к различным собственным значениям, линейно независимы;

• симметрическая матрица порядка п всегда имеет п действительных собственных значений с учетом их кратности;

• собственные векторы симметрической матрицы, относящиеся к различным собственным значениям, ортогональны между собой;

• линейная комбинация собственных векторов матрицы А, относящихся к кратному собственному значению λ, также является собственным вектором этой матрицы, поэтому такими линейными комбинациями исчерпываются все собственные векторы матрицы А, относящиеся к собственному значению λ.

Примеры выполнения заданий лабораторной работы

1^. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А = .

Решение.

Запишем уравнение det (А – λE) = 0, корни которого являются собственными значениями матрицы А: |А – λE| = = 0, или вычисляя определитель по правилу треугольников: (5 –)(– )(– 1 – ) – 6 + 6 + 3 – 2(5 – ) + 6(– 1 – ) = 0. Откуда получаем уравнение 3-й степени относительно : ³ –4² – 4 + 16 = 0, или ²( – 4) – 4( – 4) = 0, или ( – 4)(² – 4) = 0, или ( – 4)( – 2)( + 2) = 0. Следовательно, имеем три собственных числа матрицы А: ₁ = 4; ₂ = 2; ₃ = – 2.

Собственные векторы находим из равенства Ар = р, которое равносильно матричному уравнению (А – λE)р = 0. Поскольку А – матрица третьего порядка, то собственный вектор р = .

а) Находим собственный вектор для ₁ = 4.

Матричное уравнение (А – λ₁E)р = 0 принимает вид

, т.е. получаем систему уравнений:

Решим полученную систему линейных уравнений методом Гаусса:

стр.: II+I

стр.: III–I

стр.: III+2II

~ ~.

По полученной расширенной матрице ступенчатого вида системы запишем систему уравнений, равносильную исходной:

В полученной системе 2 уравнения и 3 неизвестных, следовательно, в исходной системе 2 базисных неизвестных и одна свободная. В качестве базисных неизвестных возьмем p₁ и p₂. Тогда базисные неизвестные находим из системы:

В процессе обратного хода метода Гаусса получаем p₂ = – 2р₃; р₁ = 9р₃. Т.о., для ₁ = 4 свободный вектор можно записать в следующей координатной форме: р = р₃{9; – 2; 1}. Заменяя свободную переменную произвольной константой (р₃ = С₁), окончательно получим: р = С₁{9; – 2; 1}.

б) Находим собственный u = вектор для ₂ = 2.

Матричное уравнение (А – λ₂E)u = 0 принимает вид:

, т.е. получаем систему уравнений: илиРешая эту систему методом Гаусса, получаем:

стр.: II+I

стр.: III–I

стр.: III+2II

~ ~.

Т.о., исходная система для координат вектора и равносильна системе из двух уравнений: В качестве базисных неизвестных выбираемu₁ и u₃, в качестве свободной – неизвестную u₂. Тогда: u₃ = 0; u₁ = – 2и₂. Следовательно, для ₂ = 2 свободный вектор можно записать в следующей координатной форме: и = и₂{– 2; 1; 0}, или как и = С₂{– 2; 1; 0}, где С₂ = и₂ – произвольная константа.

в) Находим собственный v = вектор для ₃ = – 2.

Матричное уравнение (А – λ₃E)v = 0 принимает вид:

, т.е. получаем систему уравнений: или после перестановки 1-го и 3-го уравнений:Решая эту систему методом Гаусса, получаем:

стр.: II+I

стр.: III–7I

стр.: II/2

стр.: III/4

стр.: III+II

~ ~~.

Т.о., исходная система для координат вектора v равносильна системе из двух уравнений: В качестве базисных неизвестных выбираемv₁ и v₂, в качестве свободной – неизвестную v₃. Тогда общим решением системы является: v₂ = – v₃/2; v₁ = 0. Следовательно, для ₃ = – 2 свободный вектор можно записать в следующей координатной форме: v = v₃{0; – 1/2; 1}, или v = С₃{0; – 1; 2}, где произведена замена v₃ = 2С₃, С₃ – произвольная константа.

Ответ: ₁ = 4, р = С₁{9; – 2; 1};

₂ = 2, и = С₂{– 2; 1; 0};

₃ = – 2, v = С₃{0; – 1; 2}.

2^. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А = .

Решение.

Находим собственные значения матрицы А: = 0, или: (5 –)(2 – )(5 – ) – 4 – 4 – (2 – ) – 4(5 – ) – 4(5 – ) = 0.

Откуда: ³ –12² + 36 = 0, или ( – 6)² = 0. Следовательно, имеем три собственных числа матрицы А: ₁ = 0; ₂ = ₃ = 6.

а) Находим собственный вектор р = для ₁ = 0, которому соответствует матричное уравнение: , равносильное системе:или после перестановки 1-го и 3-го уравнений:Решаем эту систему методом Гаусса:

стр.: II/6

стр.: III/12

стр.: II–2I

стр.: III+5I

стр.: III+II

~ ~~.

Т.о., исходная система для координат вектора p равносильна системе из двух уравнений: В качестве базисных неизвестных выбираемp₁ и p₂, в качестве свободной – неизвестную p₃. Тогда общим решением системы является: p₂ = 2p₃; p₁ = p₃. Следовательно, для ₁ = 0 свободный вектор можно записать в следующей координатной форме: p = p₃{1; 2; 1}, или p = С₁{1; 2; 1}, где произведена замена p₃ = С₁, С₁ – произвольная константа.

б) Находим собственный вектор u = для ₂ = ₃ = 6, которому соответствует матричное уравнение: , равносильное системе:илиРешаем эту систему методом Гаусса:

стр.: II–2I

стр.: III–I

~ .

Т.о., исходная система для координат вектора и равносильна одному уравнению: u₁ + 2u₂ + u₃ = 0, содержащему две свободные неизвестные. В качестве базисной неизвестной выбираем u₁, тогда u₂ и u₃ – свободные неизвестные. Тогда: u₁ = – 2и₂ – u₃. Следовательно, для ₂ = ₃ = 6 свободный вектор можно записать в следующей координатной форме: и = {– 2u₂ – u₃; u₂; u₃}, или, произведя замену свободных неизвестных на произвольные константы (u₂ = С₂, u₃ = С₃) как и = {– 2С₂ – С₃; С₂; С₃}, или как линейную комбинацию двух собственных векторов: и = {– 2С₂; С₂; 0} + {– С₃; 0; С₃} = С₂{–2; 1; 0} + C₃{–1; 0; 1}.

Ответ: ₁ = 0, р = С₁{1; 2; 1};

₂ = ₃ = 6, и = С₂{–2; 1; 0} + C₃{–1; 0; 1}.

3^. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А = .

Решение.

Находим собственные значения матрицы А: = 0, или: –(4 – )(2 – ) + 4(2 – ) = 0, откуда: ³ –6² + 12 – 8 = ( – 2)³ = 0. Следовательно, имеем три равных друг другу собственных числа матрицы А: ₁ = ₂ = ₃ = 2.

Находим собственный вектор р = для ₁ = ₂ = ₃ = 2, которому соответствует матричное уравнение: , равносильное системе:Решаем эту систему методом Гаусса:

стр.: II–2I

стр.: III–I

~ .

Т.о., исходная система для координат вектора р равносильна одному уравнению: – 2р₁ + р₂ + 0р₃ = 0, содержащему две свободные неизвестные. Ясно, что р₃ – произвольное число, пусть второй свободной неизвестной будет р₂. Тогда р₁ – базисная неизвестная, и р₁ = р₂/2 – 0р₃. Следовательно, для ₁ = ₂ = ₃ = 2 свободный вектор можно записать в следующей координатной форме: р = {р₂/2; р₂; р₃}, или, произведя замену свободных неизвестных на произвольные константы (р₂ = 2С₁, р₃ = С₂) как р = {С₁; 2С₁; С₂}, или как линейную комбинацию двух собственных векторов: р = {С₁; 2С₁; 0} + {0; 0; С₂} = С₁{1; 2; 0} + C₂{0; 0; 1}.

Ответ: ₁ = ₂ = ₃ = 2, р = С₁{1; 2; 0} + C₂{0; 0; 1}.