4.2 Сызықтық дифференциалдық теңдеуді Дюамель интегралын пайдаланып шешу

Берілген

x⁽ⁿ⁾(t)+x^(n-1)(t)+…+x^/(t)+x(t)=f(t) (67)

дифференциалдық теңдеуінің алғашқы x(0)=x^/(0) = …=x^(n-1)(0)=0

шарттарын қанағаттандыратын шешуін табу керек болсын.

Мұндағы - тұрақты сандар, f(t) –түпнұсқа.

Теңдеудің шешуін табу үшін

ω⁽ⁿ⁾(t)+ω^(n-1)(t)+…+ω^/(t)+ω(t)=1 (68)

дифференциалдық теңдеуін қарастырайық.

Бұл теңдеудің ω(0)=ω^/(0)=…=ω^(n-1)(0)=0 алғашқы шарттарын қанағаттандыратын шешуі белгілі болсын дейік және W(p)=ω(t) сәйкестігі орындалсын.

Сонда (69) теңдеудің операторлық түрдегі теңдеуі мынадай болады:

pⁿW(p)+p^n-1W(p)+…+ W(p)+W(p)=

Осыдан

W(p)= (69)

теңдігі алынады.

Берілген (67) теңдеудің шешуін x(t) деп, ал оның бейнесін X(p) арқылы белгімен F(p)=f(t) деп алайық.

Ал (67) теңдеу үшін операторлық теңдеуді былай жазуға болады:

pⁿX(p)+p^n-1X(p)+…+p^x(p)+X(p)=F(p).

Осыдан

X(p)= (70)

теңдігі анықталады. Енді (69) және (70) өрнектерді салыстырып мынадай теңдік аламыз:

X(p)=pF(p)W(p)

Алғашқы шарт (0)=0 болғандықтан (54) Дюамель формуласы бойынша x(t) дербес шешуін былай жазуға болады

(71)

немесе

(72)

Функциялардың орамының қасиетін пайдаланып былай да жазуға болады:

(73)

(74)

(71), (72), (73),(74) формулаларымен анықталған х(t) функциясы алғашқы шарттары нөлге тең болатын (67) теңдеудің дербес шешуін береді.

28 Мысал

Дюамель формуласының көмегімен

х^//(t)-2x^/(t)=t²e^t

теңдеуінің у(0)=у¹(0)=0 алғашқы шарттарын қанағаттандыратын шешуін табу керек.

Шешуі

Көмекші дифференциалдық теңдеу құрайық

- алғашқы шарттар.

Бұл теңдеудің шешуі ал оның бейнесі W(p) болсын.

Көмекші дефференциалдық теңдеу үшін операторлық теңдеуді

р²W(р)-2рW(р)= түрінде жазамыз.

Осыдан

теңдеуі щығады.

Оған сәйкес түпнұсқаның түрі

Осыдан

болады.

Сонда (71) формула бойынша берілген дифференциалдық теңдеудің дербес шешуін мына түрде жазамыз:

t>0

4.3 Коэффициенттері тұрақты сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесін операторлық әдіспен шешу

Коэффициенттері тұрақты сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесі берілсін

(75)

Осы жүйенің x₁(0)=х₁₀, х₂(0)=x₂₀, …, х_n(0)=х_n0 алғашқы шарттарын қанағаттандыратын шешуін табу керек.

Мұндағы а_кm (қm=1, 2, …, n) – теңдеулер жүйесінің тұрақты коэффициенттері, х₁₀, х₂₀, ..., x_nо – берілген алғашқы мәндер, f₁(t), f₂(t), ..., f_n(t), - түпнұсқа болатын берілген нақты айнымалы

t-ның функциялары; х₁(t), х₂(t), …, х_n(t) шешулері және олардың бірінші туындылары да үздіксіз функциялар деп ұйғарайық. Мынадай сәйкестіктер белгілейік:

k=1, 2, …, n.

Жүйенің әрбір теңдеуінің екі жағын да е^-pt-ға көбейтіп 0 мен арасында t бойынша интегралдаймыз: Түпнұсқаны дифференциалдау ережесін пайдаланып мынадай жүйе аламыз.

немесе

(76)

Осы (76) жүйе операторлық теңдеулер жүйесі деп аталады.

Оның анықтауышын мына түрде жазамыз.

Мұндағы _km(р) анықтауышы – к-ші жатық жол мен m-ші тік жол қиылысында орналасқан элементтің алгебралық толықтауышы. Жүйенің анықтауышы деп ұйғарайық.

Сонда Крамер формулалары бойынша жүйенің шешуін былай жазамыз:

(77)

к=1, 2, …, n

Әрі қарай берілген (75) жүйенің шешуін табу үшін алынған бейнелер бойынша түпнұсқаны табу керек.