1 Лаплас түрлендіруі

1.1 Түпнұсқа және бейне. Лаплас интегралы.

Нақты айнымалы t-ның функциясы үшін мына шарттар орындалсын:

1) Айнымалы t-ның мәндерінде функция мәніболсын;

2) Нақты айнымалы t-ның функциясы барлық мәндерінде үздіксіз болсын.

Үздіксіздік шарты тек бірінші текті үзіліс нүктелерінде ғана орындалмасын және ондай нүктелер саны шектеулі болсын;

3) Берілген функциясының өсу дәрежесі шектеулі болсын, яғни барлықмәндеріндетеңсіздігі орындалатындайжәнесандары табылсын. Осы шартты қанағаттандыратынсандарының ең кішісіфункциясының өсу көрсеткіші деп аталады.

Осы (1)-(3) шарттарды қанағаттандыратын функциясы түпнұсқа деп аталады.

Автоматты жүйелердегі құбылыстарды сипаттағанда кездесетін көптеген функциялар түпнұсқа болады. Мысалы, Хевисайдтың бірлік функциясы деп аталатын функциясы,функциялары түпнұсқа болады. Бұл функциялардың бірлік баспалдақты функция түріндегі көбейткіштерінің бар болуы түпнұсқаның (1) шартының орындалуын қамтамасыз етеді. Оны физикалық тұрғыдан түсіндірудің ешқандай қиындығы жоқ. Шынында да, автоматты жүйелердегі құбылыстар қандай да бір белгілі уақыт кезеңінен басталады.

Осы уақытты алғашқы уақыт кезеңі ретінде алуға болады. Сондаtболғандаf(t)=0 болады да түпнұсқаның (1) шарты орындалады.

Ал (2) және (3) шарттар автоматты жүйелерді сипаттайтын көптеген f(t) функциялары үшін орындалады.

Егер осы (1)-(3) шарттардың ең болмағанда біреуі орындалмаса, онда f(t) функциясы түпнұсқа болмайды. Мысалы, функциялары түпнұсқа болмайды.Бұл функциялар үшін (3) шарт орындалмайды.

Түпнұсқаның (3) шартын қанағаттандыратын функциялардың мысалын келтірейік:

а) Барлық шектелген функциялар; мұндай функциялар үшін өсу көрсеткіші өйткені

б) Барлық түріндегі дәрежелік функциялар. Бұлар үшінболады. Шынында да

өйткені -тің модулікөрсеткіштік функциясына қарағанда баяу өседі. Мұндағы-қаншалықты болса да аз оң сан.

Осыдан функциясыныңаралығында шектелген функция екендігі көрінеді. Басқаша айтқанда, барлықмәндері үшін, немесетеңсіздігі орындалады.

Мұндағы А-кез-келген оң сан, -қаншалықты болса да аз оң сан. Сондықтанфункциясының өсу көрсеткіші болады.

Егер болса, ондаүзіліс нүктесі болады да функциясы түпнұсқаның (3) шартын қанағаттандырмайды.

Жоғарыдағы

(1)

теңдігімен анықталған комплекс айнымалыныңфункциясыфункциясының Лаплас бойынша бейнесі деп аталады. Осы (1) теңдіктің оң жағындағы интеграл Лаплас интегралы деп аталады. Анықтама бойынша бұл меншіксіз интеграл мынаған тең:

(2)

Мұндағы оңжақтық шекке көшу амалын көрсетеді. Лаплас интегралының көмегіменфункциясы мен оныңбейнесі арасында сәйкестік орнатылады.

Берілген функциясы бойынша оныңбейнесін табу амалы Лаплас түрлендіруі деп аталады. Ол былай белгіленеді:

Егер функцияғабейнесі сәйкес келсе, ол сәйкестік әдетте былай жазылады:немесе.

Егер (2) теңдіктің оң жағындағы шек бар болатын болса, онда Лаплас интегралы жинақталады.

Енді Лаплас бойынша қандай функцияларын түрлендіруге болатынын қарастырайық.

Теорема 1.1

Егер функциясы түпнұсқа болса, онда оны Лаплас бойынша түрлендіруге болады және оның бейнесі жарты жазықтығында анықталған.

Мұндағы депфункциясының өсу көрсеткішін ұғамыз.

Теореманы дәлелдеу үшін р комплекс айнымалысының жазықтығының теңсіздігі орындалатын бөлігінде (1) теңдіктің оң жағындағы интеграл жинақталатындығын көрсетсек жеткілікті.

Түпнұсқаның (3) шартын пайдаланып мынадай теңсіздіктер аламыз:

Ал болғандықтан

(3)

Мұндағы болғандықтан,болса, Лаплас интегралы жинақталады. Сонымен,функциясы түпнұсқа болса, онда оны Лаплас бойынша түрлендіруге болады. Оның бейнесі р комплекс айнымалысы жазықтығының жорымал оске параллель және одан қашықтықта өтетін түзуден оңға қарай бөлігінде анықталған.

0 С

1.1 Сурет