Жауаптары

3 Бейне бойынша түпнұсқаны анықтау

Берілген бейнесіне сәйкестүпнұсқасын Лапластың кері түрлендіруі арқылы табуға болатындығын жоғарыда келтірдік:

Осы (55) кері айналдыру формуласы түпнұсқаның үздіксіздік нүктелерінде бейне мен түпнұсқа арасында бірмәнді сәйкестік орнатады. Бұл формуланы тікелей қолдану әрқашанда қиындық туғызады.

Сондықтан әдетте Меллин формуласының салдары болып табылатын жіктеу теоремаларын пайдаланады.

3.1 Бірінші жіктеу теоремасы

Егер шексіз алыстағы нүктенің маңайында аналитикалық функция болып сол нүктедегі мәні нөлге тең болса және осы нүкте маңайындағы Лоран қатарына жіктелуі

түрінде болса, онда бейнесінің түпнұсқасы мына функция болады:

Егер болса, ондаболады.

20 мысал

функциясының түпнұсқасын табу керек.

Шешуі

Берілгенфункциясыныңнүктесінің маңайындағы жіктелуі

Сондықтан бірінші жіктеу теоремасына сәйкесфункциясының түпнұсқасыфункциясы болады.

3.2 Берілген бейнесі бойынша түпнұсқаны табудың қарапайым әдісі

Көп жағдайларда берілген бейнесі бойынша түпнұсқаны табу үшін бейнені түрлендіріп, содан кейін Лаплас түрлендіруінің қасиеттерін және бейнелер кестесін пайдаланады.

Ал бейнені түрлендіру үшін көбінесе рационал бөлшектерді жай бөлшектерге жіктеу әдісі қолданылады.

21 мысал

Берілген

бейнесіне сәйкес түпнұсқаны табу керек.

Шешуі

Бірінші әдіс

Бөлшектің бөліміндегі үшмүшеліктің толық квадратын бөліп шығарып ығысу теоремасын және бейнелер кестесін пайдаланамыз

Сонымен,

Екінші әдіс

Берілген бөлшекті жай бөлшектер қосындысына жіктейміз

22 мысал

функциясының түпнұсқасын табу керек.

Шешуі

Бірінші әдіс

Бөлшекті жай бөлшектер қосындысына жіктейміз

Екінші әдіс

Бөлшекті мына түрде жазайық:

Сонда бейнені дифференциалдау теоремасы бойынша

Енді түпнұсқаны интегралдау теоремасын пайдаланып мынадай нәтиже аламыз:

Үшінші әдіс

Функциялардың орамының бейнесі туралы теореманы қолданайық

3. Екінші жіктеу теоремасы

Егер бейнесі бірмәнді функция болып және жазықтықтың бөлігінде жатқан саны шектеуліерекше нүктелері болса, онда шегермелер туралы теореманы пайдаланып былай жазуға болады:

Мұндағы функциясының полюстері.бейнесіболғанда аналитикалық функция болғандықтан, көрсетілген полюстер жорымал оске параллель және оданқашықтығында өтетін түзуден солға қарай орналасқан. Егерболса, ондадеп алу керек.

функциясы рационал функция болған жағдайды қарастырайық, яғни

Мұнда және коэффициенттері нақты сандар.

Бөлімінің түбірлерін есептеп, бөлшекті мына түрде жазамыз:

Мұндағы түбірінің еселігі және

Түрлендірілген (59) бейненің түпнұсқасын табу үшін (58) формуланы пайдаланамыз. Полюс бойынша шегермені есептеу формуласын қолданып болғанда мынадай формула аламыз:

Дербес жағдайда, егер бейнесінің бөлімінің түбірлеріжай түбірлер болса, ондаболады да, бірінші ретті жай полюс бойынша шегермені есептеу формуласын пайдаланамыз: