23 Мысал

бейнесіне сәйкес түпнұсқаны табу керек.

Шешуі

Бейненің екінші ретті бір ғана полюсі бар.

(60) формулада деп алып керекті түпнұсқаны табамыз

24 мысал

бейнесіне сәйкес түпнұсқаны табу керек.

Шешуі

(61) формуланы пайдаланамыз.

Берілген бейнеден екендігі көрінеді. Осыдан

Ал көпмүшелігінің түбірлері:

Сонда

Сондықтан

25 мысал

бейнесінің түпнұсқасын табу керек.

Шешуі

Бейненің полюстері екінші ретті (60) формуланы пайдаланамыз.

3.4 Есептер

44. Екінші жіктеу теоремасын пайдаланып мына бейнелерге сәйкес түпнұсқаны табу керек.

45. Бірінші жіктеу теоремасын пайдаланып мына функциялардың түпнұсқасын табу керек.

46. Мына функциялардың түпнұсқасын табу керек.

Жауаптары

4 Операторлық есептеудің қолданылулары

4.1 Коэффициенттері тұрақты сызықтық дифференциалдық теңдеулерді операторлық әдіспен шешу

Коэффициенттері тұрақты сызықтық дифференциалдық

x⁽ⁿ⁾(t)+x^(n-1)(t)+…+x^/(t)+x(t)=f(t) (62)

теңдеуінің алғашқы шарттарды қанағаттандыратын шешуін табу керек болсын.

Мұндағы -тұрақты сандар, ал -алғашқы берілген мәндер.

Түпнұсқа болатын f(t) үздіксіз функция.

Белгісіз х(t) функциясы мен оның туындылары да үздіксіз болсын деп ұйғарайық. Берілген (62) теңдеудің шешуін табу үшін теңдіктің екі жағын да -ға көбейтіп 0 мен арасында t бойынша интегралдаймыз.

(63)

Осыны туындының бейнесі туралы теореманы қолданып былай жазуға болады.

(64)

Мұндағы X(р)=х(t), F(р)=f(t)

Бұл теңдеу операторлық теңдеу деп аталады Оны түрлендіріп мына түрде жазайық.

(рⁿ+р^n-1+…+р+)X(р)=х₀(р^n-1+p^n-2+…+p+)+

+х₁(p^n-2+..++3p+)+a₀ х_n-1+F(р)

Осыдан

(65)

Мұндағы А(р)=рⁿ+р^n-1+…+p+a_n,

В(р)=х₀(р^n-1+p^n-2+…+p+)+

+x₁(р^n-2+p^n-3+…+p+)+

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

+х_n-1

Осы (65) формула арқылы анықталған X(p) функциясы (62) теңдеудің шешуі болады. Егер алғашқы шарттар барлығы нөлге тең болса, онда мынадай шешу аламыз

(66)

Дербес х(t) шешуін табу үшін X(p) бейнесіне сәйкес түпнұсқаны табу керек. Егер x₀, х₁, …, х_n-1 алғашқы мәндері берілмеген кезкелген сандар болса, онда X(t) (62) теңдеудің дербес шешуі емес, оның жалпы шешуі болады.

26 Мысал

х^//(t)-2х^/(t)+x(t)=4 теңдеуінің х(0)=4, х^/(0)=2 шарттарын қанағаттандыратын дербес шешуін табу керек.

Шешуі

Дербес шешуді х(t) деп белгілеп, Х(р)=x(t) деп алайық. Сонда операторлық теңдеудің түрі мынадай болады:

немесе

Осыдан

аламыз.

Бұл рационал бөлшекті жай бөлшектерге жіктеп түпнұсқаны табамыз

және

27 Мысал

Оң жағы үзілісті болатын сызықтық теңдеуді қарастырайық.

х^//(t)+x(t)=f(t) дифференциалдық теңдеуінің x(0)=х^/(0)=0 алғашқы шарттарын қанағаттандыратын шешуін табу керек. Теңдеудің оң жағындағы f(t) функциясының графигі 4.1 суретте берілген.

f(t)

t

0 π

4.1 сурет

Шешуі

Түпнұсқа болатын f(t) функциясын Хевисайдтың бірлік функциясы арқылы өрнектеуге болады.

Ал болғандықтан

сәйкестігін аламыз

Сонда операторлық теңдеудің түрі мынадай болады:

Осыдан бейнесін аламыз.

Енді х(t)-ні табу үшін бөлшекті жіктейміз

Сондықтан оған сәйкес түпнұсқа

болады.

Кешеуілдеу теоремасын пайдаланып

сәйкестігін жазуға болады.

Сонымен, х(t) шешуінің түрі мынадай:

немесе

болса.

Табылған шешімді t=π нүктесінде зерттейік. Ол үшін х(t) функциясын дефференциалдайық

болса

болса

Осы x(t), x^/ (t), x^//(t)өрнектерінен мынаны аламыз.

Сондықтан

яғни

x(t) функциясы t= нүктесінде үздіксіз.

Осы сияқты

яғни

.

Осыдан x^/(t) функциясы t= мәнінде үздіксіз екендігі шығады.

Әрі қарай функциясын t= мәнінде зерттейміз.

Сондықтан

яғни x^// (t) функциясының t= нүктесінде бірінші текті үзіліс нүктесі бар.

Сонымен оң жағының бірінші текті үзіліс нүктесі бар дифференциалдық теңдеудің x(t) дербес шешуі мен оның бірінші туындысы үздіксіз, ал екінші туындысының бірінші текті үзіліс нүктесі бар.