29 Мысал

x(0)=0, y(0)=3, z(0)=-2,

теңдеулер жүйесін шешу керек.

Белгілеулер енгізейік:

Жүйенің әрбір теңдеуін Лаплас бойынша түрлендіріп мынадай операторлық теңдеулер жүйесін аламыз:

Осы жүйеден Х(р) шешуін табамыз

Алынған бөлшек бейнені жай бөлшектерге жіктейміз

Осы бейнеге сәйкес түпнұсқа

x(t)= e^t-e^3t, (t>0) жүйенің шешуі болады.

Жүйенің басқа шешулерін де осылай табамыз. Ол шешулер мынадай:

y(t)=-2e^t+2e^2t+3e^3t (t>0), z(t)=2e^t-2e^2t-2e^3t (t>0).

4.4 Операторлық әдістерді пайдаланып меншіксіз интегралдарды есептеу мысалдары

Егер функциясы үздіксіз түпнұсқа, ал F(p)-оның бейнесі болса, онда меншіксіз интегралы жинақталса мынадай формула орындалады:

(78)

Егер меншіксіз интегралы жинақталса, онда

(79)

формуласы орындалады.

30 мысал

a>0 меншіксіз интегралын есептеу керек.

Шешуі

функциясының бейнесін табайық.

Ал болғандықтан, бейнені интегралдау теоремасы бойынша

сәйкестігі орындалады да (79) формула бойынша

нәтижесін аламыз.

31 мысал

a>0, b>0 интегралын есептеу керек

Шешуі

f(t)=e^-at-e^-bt функциясының бейнесін табайық.

^, Rep>max{a, b}.

Сонда (78) формула бойынша берілген меншіксіз интегралдың мәні мынаған тең:

.

32 мысал

x>0 интегралын есептеу керек.

Шешуі

Берілген интегралды

деп белгілейік.

Бұл функцияның Лаплас бойынша бейнесі мына түрде жазылады:

Интеграл астындағы функциясы тиісінше 0≤x<∞ және жарты өстерінде жататын х пен t-ның мәндерінде анықталған және кез-келген t мәнінде х бойынша, ал кез-келген х мәнінде t бойынша үздіксіз. Осы жарты өстердің шектелген аралықтарында

, меншіксіз интегралдарының біріншісі х бойынша, ал екіншісі t бойынша бірқалыпты жинақталады.

Сондықтан

қайталанған интегралы да жинақталады. Осымен байланысты интегралдау шектерін ауыстыруға болатындығын пайдаланамыз:

Ішкі интегралдың мәні

болғандықтан есептеу былай жалғасады:

Ал болғандықтан, нәтижесінде

х>0 мәні табылады.

4.5 Операторлық есептеуді электр тізбегін зерттеуге пайдалану

Операторлық есептеудің әдістері электр тізбектеріндегі құбылыстарды зерттеуге кеңінен қолданылады.

Тізбектегі ток пен кернеу тиісінше i(t) және u(t) болсын. Операторлық әдісті қолдану операторлық ток және операторлық кернеу үшін Кирхгоф заңының орындалатындығына негізделген. Ом заңына сүйене отырып электр тізбегінің негізгі элементтері үшін мына арақатнастарды жазуға болады:

R кедергісі үшін ;

L индуктивтігі үшін

С сиымдылығы үшін

Бейнелерге көшіп мынадай теңдіктер аламыз:

Оператор түріндегі Ом заңын пайдаланып тізбектің кез-келген бөлігі үшін былай жазуға болады:

U(p)=Z(p)I(p) (80)

Мұндағы Z(p) –осы тізбек бөлігінің операторлық кедергісі.

Кедергісі R, индуктивтігі L немесе сиымдылығы C тізбек бөліктері үшін алғашқы шарттары нөлге тең операторлық кедергі мына түрде жазылады:

Z_R(p)=R, Z_L(p)=L_p, .

Егер алғашқы шарттар нөлдік болмаса, онда тізбектегі электр қозғаушы күштерге қосымша энергия көздері қосылады. Қосымша энергия көздерінің электр қозғаушы күштерінің шамасы индуктивтік пен сиымдылықтың артық энергия қорымен анықталады. Олардың шамасы операторлық түрде тиісінше Li(o) және - ге тең. Берілген тізбек бөлігінің есебін жүргізудегі негізгі формула U(p)=Z(p)I(p). операторлық түрде беріледі.