Қазақстан Республикасы білім және ғылым Министрлігі

С. Торайғыров атындағы Павлодар мемлекеттік университеті

Физика, математика және ақпараттық технологиялар институты

Алгебра және математика кафедрасы

Операторлық есептеу

Техникалық мамандықтарға оқитын студенттерге арналған

оқу-әдістемелік құралы

Павлодар

УДК 517.445 (075.8)

ББК 22.161 я 73

М 88

С. Торайғыров атындағы пму Ғылыми кеңесі ұсынған

Пікірсарапшылар:

Қарағанды мемлекеттік техникалық университетінің профессоры Н. Әділбек

Павлодар университетінің профессоры М.М. Аяшинов

М.М. Мұхтаров, Н.М. Исмагулова, Т.М. Бергузинова

Операторлық есептеу. Оқу-әдістемелік құрал.-Павлодар, 2005., 75 бет

Осы әдістемелік құралға мемлекеттік тілде оқитын студенттерге арналған «Операторлық есептеу» тақырыбына теориялық мәліметтер, жаттығу жұмыстары және оларға әдістемелік нұсқаулар енгізілген.

Студенттердің өз бетімен білім меңгеруіне арналған есептер берілген.

© М.М. Мұхтаров, Н.М. Исмагулова, Т.М. Бергузинова

Кіріспе

Операторлық есептеу математикалық талдаудың маңызды бір саласы болып табылады. Механика, математика және техника есептерін шешуде операторлық әдістер жиі қолданылады. Жылу өткізгіштік теориясында, электротехника және радиотехника, электр тізбегіндегі тұрақты емес құбылыстарды,автоматты реттегіштер жүйесінің жұмысын зерттеуде, сонымен қатар сызықтық дифференциалдық және интегралдық, айырымдық теңдеулер теориясында операторлық есептеу әдістері кеңінен пайдаланылады.

Оператор, операция сөздері латын тілінде operor-жасаймын, operator-жасаушы, жұмыскер деген ұғымды білдіреді. Ал operatio-амал, қимыл, жұмыс, енгізу, іске асыру ұғымдарына сәйкес келеді.

Операторлық есептеу саласындағы алғашқы ғылыми жұмыстар белгілерді есептеу, белгілеулер енгізу арқылы есептеу деген сияқты атаулармен басталады. Операторлық әдістерді физикалық және техникалық есептерді шешу үшін қолдану ағылшын ғалымы Хевисайдтың 1892 жылы жарияланған еңбектерінен кейін басталған.

Операторлық есептеудің алғашқы математикалық түрде негізді дәлелденуі ағылшын математигі Бромвичтің (1916), америка инженері Карсонның (1926) және голландия инженер-электригі Ван дер Польдің (1929-1932) еңбектерімен тығыз байланысты. Россияда бұл саладағы алғашқы еңбектердің бірі М.Е. Ващенко-Захарченконың 1862 жылы шыққан монографиясы болып табылады. Операторлық есептеу теориясын дамытуда орыс ғалымдары Лурье А.И., Данилевский А.Н., Эфрос А.М., Конторович М.И., Диткин В.А. айтарлықтай үлес қосты.

Ғылыми зерттеулер нәтижесінде операторлық есептеу теориясында Лаплас бойынша түрлендірілетін функцияларды ғана пайдалану, оның қолданылу өрісін тарылтатындығы байқалды. Бұл кемшіліктен құтылу үшін Хевисайдтың белгілеулеріне қайта оралып, функция ұғымын жалпылау қажеттігі туды. Осындай қажеттілікпен байланысты жарыққа шыққан польша математигі Я. Микусинскийдің «Операторлық есептеу» деп аталатын еңбегі алғашқы операторлық көзқарасқа қайта оралудың бастамасы болды.

Операторлық әдістің мәнін қысқаша былай сипаттауға болады:

Нақты айнымалы t-ның функциясы берілсін дейік. Бұл функцияның Лаплас түрлендіруі (-түрлендіру) мына түрде болсын

Бұл теңдіктің оң жағындағы жинақталатын меншіксіз интеграл.

түрлендіруін пайдаланып әрбір Лаплас бойынша түрлендірілетін түпнұсқа деп аталатын функциясына оның бейнесі деп аталатын комплекс айнымалының функциясын сәйкес келтіруге болады.

Лаплас түрлендіруінің тамаша қасиеттері бар. Мысалы, түпнұсқасынбойынша дифференциалдауғафункциясын р комплекс айнымалысына көбейту амалы сәйкес келеді. Сонымен, түпнұсқаны дифференциалдау және интегралдау амалдарына бейнелер кеңістігінде қарапайым алгебралық амалдар, яғнибейнесін р санына көбейту және бөлу амалдары сәйкес келеді.

Берілген бейнесі бойынша оған сәйкестүпнұсқасын табу үшін Лапластың кері түрлендіруін (түрлендіру) пайдалануға болады.