17 Мысал
функциясының
бейнесін табу керек.
Шешуі
Белгілі
сәйкестігін аламыз да осыған (49) формуланы
қолданамыз:
Сонымен, мынадай сәйкестік алынады:
Анықтама
Мына
түріндегі интеграл
және
функцияларының орамы деп аталады.
Ол
былай белгіленеді:
Сондықтан
Бұл
өрнек
және
функцияларының алыну ретіне байланысты
емес, яғни мына теңдік
әрқашан да орындалатынын дәлелдеуге
болады.
Теорема 2.9 Бейнелерді көбейту
Егер
және
түпнұсқалар болса, онда
немесе
Орамның Лаплас түрлендіруін қарастырайық:
Бұл интегралды екі еселі интеграл деп қарастырайық.
τ
τ=t
0
t
2.5 Сурет
Интегралдау ретін ауыстырып, мынадай өрнек аламыз:
Екінші
интегралда
ауыстыруын қолданып мынадай теңдік
аламыз:
18 Мысал
функциясының
түпнұсқасын табу керек.
Шешуі
болғандықтан,
(53) формула бойынша берілген бейнеге
сәйкес түпнұсқаны табамыз:
19 Мысал
функциясының
түпнұсқасын
табу керек.
Шешуі
болғандықтан
Дюамель формуласы
(Дюамель (1797-1872)-француз математигі).
Егер
және
-түпнұсқалар
және
болса, онда мына теңдік орындалады:
Бұл Дюамель формуласы деп аталады.
Дәлелдеу
көбейтіндісін
мына түрде жазайық:
Бұл
теңдіктің оң жағындағы екінші қосылғыш
және
түпнұсқаларының бейнелерінің көбейтіндісін
береді. Олай болса, осы теңдікке бейнелерді
көбейту теоремасын қолданайық:
Осыны ашып жазатын болсақ, (54) формула алынады.
Жалпы формулалар
Мұнда
функцияларының өсу көрсеткіші, ал
λ-нақты немесе комплекс сан.
|
№ |
|
|
№ |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
|
|
10 |
|
|
|
2 |
|
|
11 |
|
|
|
3 |
|
|
12 |
|
|
|
4 |
|
|
13 |
|
|
|
5 |
|
|
14 |
|
|
|
6 |
|
|
15 |
|
|
|
7 |
|
|
16 |
|
|
|
8 |
|
|
17 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
-түпнұсқа
бейнесі
-түпнұсқа
бейнесі
және
Түпнұсқа мен бейнелер кестесі
|
№ |
|
|
№ |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
|
|
16 |
|
|
|
2 |
|
|
17 |
|
|
|
3 |
|
|
18 |
|
|
|
4 |
|
|
19 |
|
|
|
5 |
|
|
20 |
|
|
|
6 |
|
|
21 |
|
|
|
7 |
|
|
22 |
|
|
|
8 |
|
|
23 |
|
|
|
9 |
|
|
24 |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
10 |
|
|
25 |
|
|
|
11 |
|
|
26 |
|
|
|
12 |
|
|
27 |
|
|
|
13 |
|
|
28 |
|
|
|
14 |
|
|
29 |
|
|
|
15 |
|
|
30 |
|
|
-түпнұсқа
бейнесі
-түпнұсқа
бейнесі
Есептер
4. Ұқсастық теоремасын пайдаланып мына функциялардың бейнесін табу керек.
5. Сызықтылық және ұқсастық теоремаларын пайдаланып мына функциялардың бейнесін табу керек.
6. Сызықтылық және ығысу теоремасын пайдаланып мына функциялардың бейнесін табу керек.
7. Түпнұсқаны дифференциалдау теоремасын пайдаланып мына функциялардың бейнесін табу керек.
8. Түпнұсқаны интегралдау теоремасын пайдаланып мына функциялардың бейнесін табу керек.
9. Бейнені дифференциалдау теоремасын пайдаланып мына функциялардың бейнесін табу керек.
10. Бейнені интегралдау теоремасын пайдаланып мына функциялардың бейнесін табу керек.
11. Кешеуілдеу теоремасын пайдаланып мына функциялардың бейнесін табу керек.
12. Мына график түрінде берілген функциялардың бейнесін табу керек.
а) б)
1
1
t
t
0 1 0 1 2
в) г)
1
a
t
0 1 2 t
0 а
-1
13. Бейнелерді көбейту теоремасын пайдаланып мына бейнелерге сәйкес түпнұсқаны табу керек.
14. Көбейту теоремасын пайдаланып мына функциялардың бейнесін табу керек.
Мына функциялардың бейнелерін табу керек.
Мына периодты функциялардың бейнесін (32) формула көмегімен табу керек.
