Упражнения и задачи

1. Записать в лексикографическом виде:

а) б)

2. Найти высший член многочлена:

а) б)

3. Доказать, что многочлен принимает неотрицательные значения при любых действительных значениях переменных:

а) б)

§2.1.16 Симметрические многочлены

Если для любых i и jимеемто функцияназываетсясимметрической.Сумма, разность, произведение симметрических функций - вновь симметрическая функция. Функции

... ... ... ... ...

называются элементарными симметрическими.

Теорема.Симметрический многочлен с коэффициентами из поляKявляется многочленом от элементарных симметрических функций с коэффициентами из этого же поля.

Доказательство:Пусть– высший член симметрического многочленаТогда

Действительно, если, например, то слагаемоеесть в многочленеfв силу его симметричности и оно выше слагаемогоА. Противоречие. Образуем новый симметрический многочлен:

Это действительно многочлен, так как симметрический и высший член произведения равен

т.е. высшие члены многочленов fиравны. Следовательно, высший член многочленаниже высшего члена многочленаf. Повторим рассуждения дляи т.д.,

.

Получим ■

Пример.Выразить через элементарные симметрические функции многочлен

Решение:Высший член многочлена имеет показатели степеней переменных (2, 1, 0). Условие невозрастания показателей степеней переменных в слагаемых, высота которых ниже, возможно лишь при показателях (1, 1, 1). Тогда показатели степенейкак следует из доказательства теоремы, (2-1, 1-0, 0) и (1-1, 1-1, 1), т.е.Для нахожденияАиВсоставим систему:

Ответ:

Упражнения и задачи

1. Доказать, что симметрический многочлен над полем Kпредставляется в виде многочлена надKот элементарных симметрических функций единственным образом.

2. Выразить через элементарные симметрические многочлены:

а)

б)

в)

3. Найти значение симметрического многочлена F от корней многочленаf:

4. Найти сумму четвертых степеней корней уравнения

§2.1.17 Поля отношений

Для ассоциативного коммутативного кольца Ас 1 без делителей нуля рассмотрим пары элементовВ этой паре элементаназываетсячислителем, аb–знаменателем.Введем для них отношения равенства, операции сложения и умножения:

(1)

(2)

(3)

Отношение равенства разбивает эти пары на классы равных пар. Докажем, что введенное действие сложения каждым двум классам таких пар ставит в соответствие третий класс. Действительно, пусть т.е.Тогда

Аналогично доказывается, что

Теорема.Классы равных пар относительно введенных действий сложения и умножения образуют поле.

Доказательствозаключается в скрупулезной проверке всех аксиом поля. Это поле называетсяполем отношенийкольцаА. Например, поле рациональных чиселQявляется полем отношений кольца целых чиселZ. ■

Нейтральным элементом относительно умножения в поле отношений является класс, в который входит элемент Отождествив пару (а, 1) с элементомполучим включение кольцаАв его поле отношений. Обратным к классу парыявляется класс парыЗаметим, чтодля любого ненулевого элементасиз кольцаА. В частности,

§2.1.18 Поле рациональных функций

Поле отношений кольца многочленов обозначаетсяи называетсяполем рациональных функций.Его элементы называютсярациональной дробьюилирациональной функцией.Будем писатьвместогдеТогда

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. Дробьназываетсянесократимой, если НОДВ дальнейшем рассматриваем несократимые дроби.

Теорема.Любую рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби и притом единственным образом.

Доказательство:Возьмем любую рациональную дробь. По теореме о делении с остаткомОтсюда

Теорема существования доказана. Единственность такого представления следует из той же теоремы о делении с остатком, по которой такая пара hиrединственна. ■

Теорема.Еслито правильную рациональную дробьможно представить в виде суммы двух правильных рациональных дробейи притом единственным образом.

Доказательство:По теореме о линейном представлении НОД из условияследует, что существуют многочленыидля которых

Отсюда

Разделим наh, тогда

Пусть Докажем, чтоЕслитоА это противоречит условию, по которомуОтсюдаИтак,

Теорема существования доказана. Предположим, что существует еще одно такое представление дроби

Тогда Следовательно,

По теореме Евклида делится наh, а это возможно лишь, еслиа значит, и■