Модуль 2. Многочлены. Матрицы. Определители Глава 2.1. Многочлены §2.1.1 Многочлены от одного переменного

Пусть А– ассоциативное коммутативное кольцо с 1 без делителей нуля. Рассмотрим множествовсех последовательностей элементов из кольцаА, в которых только конечное число элементов отлично от 0 (здесь 0 – нейтральный элемент относительно сложения кольцаА). Таким образом, последовательность имеет вид:

и называется многочленом от одной переменнойнад кольцомА. Начиная с некоторого номера, все элементы последовательности равны нулю. Наибольший индексп, при которомназываетсястепенью многочлена fи обозначается(от английского словаdegree- степень). Элементыназываютсякоэффициентами многочлена.Коэффициентназываетсясвободным членом.Коэффициентназываетсястаршим коэффициентом.Нулевой многочлен 0 = (0, 0, 0,...) не имеет степени. Иногда уславливаются присваивать ему степеньпричем считается, что для любого целого числапимеет место неравенство

Возьмем два многочлена:

Отношение равенства.Считаем, чтоf = g, еслиn = mит.е. если у них степени равны и все соответствующие коэффициенты равны.

Сложение.Полагаем, чтот.е. для того, чтобы сложить два многочлена, надо сложить их соответствующие коэффициенты.

Очевидно, что введенная операция ассоциативна и коммутативна, и многочлен с нулевыми коэффициентами 0 = (0, 0,...) является нейтральным элементом относительно сложения многочленов. Для каждого многочлена fнайдется противоположный:

Следовательно, многочлены образуют аддитивную абелеву группу.

Умножение.

т.е. произведением многочленов f иgназывается многочленкоэффициенты которого вычисляются по формулеПолагаем, как обычно, что

Теорема.Множество всех многочленов образует относительно введенных отношения равенства, сложения и умножения ассоциативное коммутативное кольцо с 1 без делителей нуля.

Доказательствозаключается в непосредственной проверке всех аксиом кольца. Заметим, что в качестве нейтрального элемента относительно умножения выступает многочлен 1 = (1, 0, 0,...).

Покажем, что кольцо не имеет делителей нуля. Пусть и– два многочлена изПредположим теперь, чтот.е. вfнайдется хотя бы один коэффициент, отличный от нуля. Допустим, чтоs– наименьший индекс коэффициента, отличного от нуля, т.е.

Если fg = 0, то. Так кака кольцоАбез делителей нуля, тоИ далее последовательно выводим, чтои, стало быть,g =0, а это и означает, что– кольцо без делителей нуля, т.е. еслитоили■

Следствие.Еслиfh = ghитоf = g.

Доказательство:Равенствоfh = ghперепишем в видеТак кактоТаким образом, в кольцевозможно деление обеих частей равенства на их общий множитель.

Условимся отождествлять последовательность (а, 0, 0,...) с элементомаизА, т.е.Это допустимо, так как действия над последовательностями вполне согласуются с действиями над элементами кольцаА:

Таким образом, мы получили расширение кольца А:

Заметим, что

т.е. умножить элемент из Ана многочлен – это значит умножить каждый коэффициент многочлена на этот элемент.

Рассмотрим многочлен х= (0, 1, 0, 0,...). Для него

Если то

и мы получили привычную форму записи многочлена по возрастающим степеням х, кстати, объясняющую обозначениедля кольца многочленов над кольцомА. Перепишем уже известные формулы для двух многочленов:

в новом виде:

Степени многочленов, очевидно, обладают свойствами:

если