Упражнения и задачи

1. Доказать, что если произведение многочленов делится на неприводимый многочленp, то и один из сомножителей делится наp.

§2.1.6 Дифференцирование многочленов

Многочлены мы ввели чисто алгебраически. Введем чисто алгебраически, т.е. не прибегая к понятиям функции и предела, дифференцирование многочленов.

Пусть имеется многочлен Производным многочленомот многочленаfназывается многочлен

Если илито

Свойства дифференцирования нетрудно получить, пользуясь только этим определением:

Будем полагать, что и называтьвторым,соответственно,k-тым производным многочленом отf, или производным многочленомk-го порядка,Иногда принимают(производный многочлен порядка 0).

Упражнения и задачи

1. Доказать свойства 1-4.

2. Если тоk– кратность множителяgмногочленаf. Доказать, что тогдаk-1 – кратность множителяgмногочлена

§2.1.7 Отделение кратных множителей

Многочлен fзапишем в видегде– произведение всех множителей в каноническом представленииfкратности 1,– кратности 2, ...,– кратностиs. Тогда

где

т.е. в нормализованном виде

Аналогично получим

... ... ...

Следовательно,

... ... ...

Отсюда

Таким образом, алгоритм отделения кратных множителей многочлена fзаключается в следующем:

1. Найти

2. Найти

3. Процесс вычисления прекращается при получении

4. Вычислить

5. Вычислить

6. Вычислить

Упражнения и задачи

Отделить кратные множители:

1. 

2. 

3. 

4. 

§2.1.8 Полиномиальная функция

Пусть – многочлен над полемK. Еслито элемент– тоже принадлежит полюK. Таким образом, многочленfопределяет отображениеKвK, которое каждому элементуизKставит в соответствие элементизK. Это отображение называетсяполиномиальной функцией Алгебраические операции над многочленамиfсогласуются с операциями над функциями:

Если тосназываетсянулемполиномиальной функциииликорнемуравнения

Теорема Безу.Остаток от деления многочленаfна многочленравен

Доказательство:По теореме о делении с остатком

Так как тоConst. Эту константу можно вычислить, подставив в тождество любое значение переменнойх, например,Тогда

■

Деление на и вычислениеможно производить по схеме Горнера. В равенстве:

раскроем скобки и приравняем коэффициенты при соответствующих степенях х. ПолучимПерепишем эти равенства в виде таблицы:

					...
с					...

Пример.Вычислить, если

Решение:

	1	-8	24	-50	90
2	1	-6	12	-26	38

Ответ:38.

Пример.Разложить многочленпо степеням

Решение:

	1	0	-4	6	-8	10
2	1	2	0	6	4	18
2	1	4	8	22	48
2	1	6	20	62
2	1	8	36
2	1	10
2	1

Ответ:

Теорема.Для того, чтобы элементсполяKбыл нулем полиномиальной функциинеобходимо и достаточно, чтобы многочленделился нанацело.

Доказательство:По теореме Безуf(х) делится натогда и только тогда, когда■