Глава 1.6 п р ед в ест н и ки последующего прогресса

В этой главе мы кратко изложим содержание ряда работ, породивших или предвосхитивших более поздние исследования. Мы коснемся самых разнообразных тем и явлений. Единствен­ная черта, объединяющая эти работы, негативная — все они не оказали одновременно и быстрого, и прямого воздействия на развитие комбинаторной теории групп. Их воздействие могло быть относительно быстрым, но косвенным в силу, например, того, что соответствующая работа относилась лишь к конечным группам. Возникающие в них новые приемы распространялись с большей или меньшей скоростью и на исследования беско­нечных групп. Такие статьи обычно не упоминались авторами, использовавшими их идеи или понятия. Другие работы, которые мы рассмотрим, относятся к конкретным группам, много позже вновь привлекшим внимание. Некоторые статьи были просто забыты, и их результаты и идеи иереоткрывались заново. Мы не всегда можем выяснить причины, по которым тот или иной результат или идея опять возникали в позднейших исследова­ниях. Что касается конкретных групп или классов групп, по­явившихся вне чистой теории групп, особенно в теории чисел (например, в так называемой арифметической теории квадра­тичных форм), в геометрии (дискретные группы) и в топологии (фундаментальные группы поверхностей, представляющих топо­логический интерес), то здесь весьма естественным выглядит ход развития, при котором они оказываются предметом даль­нейших исследований, когда такие исследования становятся воз­можными благодаря прогрессу комбинаторной теории групп или когда в той области, где возникли эти группы, появляются ка­кие-то новые связанные с ними задачи. Что касается общих идей, то, по-видимому, постоянная тенденция к обобщению и абстрагированию играет важную роль в позднейших исследо­ваниях.

Опасность объяснять все задним числом, всегда присут­ствующая в исторических рассмотрениях, особенно велика, ко­гда мы пытаемся проследить развитие математических идей и понятий. Восприняв однажды общий и абстрактный метод по­строения чего-либо, мы затем легко обнаруживаем его приме­нения в более ранних работах, относящихся к специфическим ситуациям. Такие применения кажутся нам лишь слегка зама­скированными использованиями общего метода. В действитель­ности, однако, выделение этого метода в «химически чистом» виде было большим достижением, которое стало возможным лишь как реакция на возникновение новых проблем. Сделанные сейчас замечания мы попытаемся проиллюстрировать в конце настоящей главы на примере возникновения понятия сплетения. В действительности появление самого понятия группы могло бы послужить той же цели, но этот предмет слишком сложен для рассмотрения здесь. Во всяком случае, смысл настоящих заме­чаний состоит в следующем. Мы стремимся предостеречь против поспешного присваивания приоритетов конкретным авторам и надеемся, что перечень предвестников в этой главе не вызовет неоправданных заявлений типа заявления Эмми Нетер: Axiom Null: Es steht schon bci Dedekind (Аксиома нуль: даная тео­рема может быть найдена уже в работе Дедекинда). В случае Эмми Нётер эта «аксиома» была, конечно, выражением ее соб­ственной скромности, так как она применяла ее к собственным теоремам. Но в исторических сочинениях таким аксиомам не место.

Мы попытаемся объединить рассматриваемые работы в не­которые группы, внутри которых наблюдается хоть какая-то общность.

А. Арифметические линейные группы высших размерностей

Самая ранняя работа по этой тематике относится к 1866 г. Она появилась в связи с одной задачей двумерной топологии, более точно, теории римановых поверхностей. В этой работе нет слов «группа» или «матрица». Используя современную терми­нологию, можно сказать, что Клебш и Гордан решили в [1866] следующую задачу. Как известно, первая группа гомологий замкнутого ориентированного двумерного многообразия рода g является свободной абелевой группой ранга 2g. Тем самым пе­реход от одного гомологического базиса к другому задается элементом группы GL(2g, Z), т. е. группы целочисленных (2g X 2g)-матриц. В то же время топологические соображения показывают, что матрица такого перехода должна сохранять кососимметрическую билинейную форму. Возникает вопрос, есть ли еще какие-нибудь ограничения на эту матрицу. Ответ на этот вопрос отрицательный. Доказательство сводилось к установле­нию следующих двух утверждений:

1. симплектическая группа Sp(2g, Z) конечно порождена;

(II) ее порождающие могут быть указаны в явном виде, и можно показать, что всякий порождающий соответствует топо­логически допустимому преобразованию.

Клебш и Гордан в работе [1866] нашли конечное множество порождающих группы Sp(2g, Z), используя чисто алгебраиче­ские методы. Хуа и Райнер в [1949] также нашли алгебраиче­скими методами некоторую конечную систему порождающих. Их результаты более экономны, чем у Клебша — Гор дана. В частности, как показано в упомянутой работе Хуа и Райнера, при произвольных значениях g достаточно четырех порождаю­щих.

Вообще симплектические группы, в особенности над полями, по-прежнему вызывают интерес как важные примеры групп Ли и, в случае конечных полей, конечных простых неабелевых групп. Основным источником информации, относящейся к этому последнему аспекту, является книга Диксона [1901а]. (В ней симплектические группы называются абелевыми линейными группами. Термин «симплектический» был введен А. Вейлем в [1939].) Тем не менее группы Sp(2g, Z) сами по себе не при­влекали большого внимания вплоть до работ Зигеля [1939] и [1943а], в которых доказано, что рассматриваемые группы дей-

ствуют как дискретные группы преобразований комплексного симметрического пространства размерности g(g^Jr 1)/2, по­строены фундаментальные области, причем из вида областей вытекает, что симплектические группы не только конечно по­рождены, но и конечно заданы, и, наконец, найдены автоморф- ные функции от 1)/2 комплексных переменных для этих

групп. Однако геометрия не менее чем шестимерного простран­ства (отвечающего случаю g ^ 2) оказывается достаточно сложной для получения геометрическими методами конечного задания группы Sp(2g, Z) при g ^ 2. Заключительный шаг в получении такого задания был сделан в работе Бера [1975J, где используются алгебраические методы. Эта информация представляет интерес для теории классов отображении двумер­ных замкнутых ориентированных многообразий. См. Бирман [1975, в особенности с. 190].

Группы Sp(2g_} Z) появлялись и в других работах после 1914 г., о чем в различных контекстах будет идти речь дальше. Все уже упомянутые работы связаны с проблемой задания та­кой группы при g > 1 (случай g = 1 совпадает со случаем дву­мерной специальной линейной группы). Результат работы Клеб- ша и Гордана [1866] был известен математикам, работающим в области аналитических функций, в связи с теорией римановых поверхностей; в конце концов этот результат появился в книге по абелевым функциям. Возникновение этих групп в теории двумерных многообразий также весьма естественно. Время воз­никновения определялось развитием топологии и теории моду­лей римановых поверхностей. (Некоторые ссылки будут приве­дены ниже.) Однако первое появление группы Sp(2g, Z) в ра­боте Зигеля [1935] явилось важным и неожиданным событием в развитии математики 20-го столетия. Здесь эти группы появи­лись в арифметической теории целочисленных положительно определенных квадратичных форм от конечного числа перемен­ных. Таким образом, работа Зигеля установила новые связи между теорией чисел и важными разделами анализа, и суще­ственным элементом этих связей явилось представление ариф­метически заданных симплектических групп как дискретных групп, денствующиих на симметрических пространствах. (Они изучались Э. Картаном в [1936].)

Для линейных групп G_n = GL(n_t Z) матриц размера пХп с целыми коэффициентами и определителем ±1 Минковский в {1905] доказал следующую теорему:

Пусть а_уц, где v, ц = 1, ..., пи a_vll — а^ — это п(п + 1) /2 действительных чисел, задающих положительно определенную квадратичную форму от п переменных. Будем считать <z_VJJl де­картовыми координатами точки из некоторой части S евклидова пространства размерности п(п-\- 1) /2. Тогда G_n действует как дискретная группа на S и имеет фундаментальную область, яв­ляющуюся выпуклым многогранным конусом, ограниченным конечным числом гиперплоскостей. Во всякой граничной точке конуса, исключая его вершину, сходится только конечное число различных образов фундаментальной области, получаемых под действием G_n.

Из этой теоремы очевидным образом вытекает существова­ние конечного задания для G_n. (Разумеется, очевидно, что G_n конечно порождена.) Минковского не слишком интересовала G_n как группа и заведомо не интересовало отыскание конечных за­даний групп. Его исследование возникло из задач теории чисел и геометрии. Тем не менее Нильсен в [1924b] получил конечное задание группы G_n при п— 3 без использования идей Минков­ского, хотя очень вероятно, что он знал о работе Минковского. Впрочем, по-видимому, при работе с шестимерным (веществен­ным) пространством не удается воспользоваться геометрической интуицией, полезной при решении двумерных задач.

Помимо общего интереса к описанию заданий для важных групп Нильсен, по-видимому, имел и особые теоретико-группо­вые побудительные мотивы для своей работы. Мы обсудим де­тали этой работы и следствия из нее в гл. II. 2.

Хотя Минковский и не интересовался G_n как группой, для него были важны ее конечные подгруппы. Дело в том, что эти подгруппы возникают как группы линейных преобразований, сохраняющих некоторую положительно определенную квадра­тичную форму от п переменных с фиксированными целыми ко­эффициентами. В 1887 г. он показал, что порядки таких под­групп делят число N(n), зависящее только от л, а также что эти порядки не делятся ни на какое натуральное число, пре­восходящее л+1. Доказательство Минковского имеет важное теоретико-групповое значение, так как в нем устанавливается и используется тот факт, что произвольная конечная подгруппа в SL(n, 2) имеет тривиальное пересечение со всякой коигруэнц- подгруппой по модулю р, где р есть 4 или нечетное простое число. Этот факт может считаться предвестником идеи изуче­ния группы путем систематического анализа ее конечных фак­торгрупп. Последняя идея принадлежит Ф. Холлу, он же ввел термин «резидуально конечный» (другими словами, финитно аппроксимируемый), как сообщает Грюнберг в [1957]. Вместе с тем нельзя сказать, что работа Минковского оказала прямое влияние на теорию групп, если не считать повышение важности изучения именно тех групп, которые в ней рассматривались.

Две весьма общие теоремы о счетных линейных группах были доказаны Гурвицем. Первая из них (Гурвиц [1895]) гласит:

Пусть R— подкольцо целых алгебраических чисел поля ал­гебраических чисел. Пусть, далее, SL(n_y R) — группа (лХ^л)- матриц с определителем -f-1 и элементами из R. Тогда группа SL(n.R) конечно порождена.

Основная трудность в доказательстве этой теоремы возни­кает при п= 2. При п. = 3 доказательство явно проведено Гур- вицем, который при этом замечает, что случаи п > 3 разби­раются аналогично. Замечательной особенностью этого доказа­тельства является использование конгруэнц-подгрупп.

По-видимому, работа Гурвица была в основном забыта. Нам нс удалось обнаружить ссылки на нее в обширной современной литературе по счетным линейным группам. Конечно, эта работа появилась в журнале, который малодоступен, поскольку мате­матические отделы обычно не подписываются на периодические издания, публикующие большое число нематематических ста­тей. Публикация собрания сочинений Гурвица в 1931 г. могла оказаться запоздалой, или, быть может, принятое в этом изда­нии деление работ Гурвица на «теорию чисел» и «теорию функ­ций» мешало специалистам по теории групп изучить это из­дание более тщательно.

Гурвиц в [1905] доказал также следующий общий резуль­тат:

Пусть G — некоторая группа (л X п)-матриц с определите­лем, равным +1, и элементами из поля С комплексных чисел. Предположим, что G дискретна, т. е. что не существует беско­нечной последовательности M_r (г = 1, 2, ...) различных матриц из <7, такой, что

lim М_г = /,

Г->оо

где / — единичная матрица, а предел понимается как покоорди­натный предел для элементов матриц. Тогда G содержит счетное число элементов и действует как дискретная группа на про­странстве коэффициентов положительно определенных эрмито­вых форм от п переменных.

В этой же статье Гурвиц находит фундаментальную область для группы Пикара в трехмерном вещественном пространстве. Здесь группа Пикара определяется как унимодулярная группа (2X2)-матриц с элементами из кольца гауссовых целых чисел. Этот результат был ранее получен Бьянки в [1892] и Фрике и Клейном в [1897]. Последние также получили задание группы Пикара, используя построение фундаментальной области.

Работы Гурвица полезны также как источник ссылок. В них упоминаются ранние статьи Бьянки, Блюменталя, Фрике,

Фубини, Минковского и Стади на близкие темы. На некоторые из этих работ мы будем ссылаться ниже.

Бнбербах доказал в [1911], что всякая дискретная группа движении л-мерного евклидова пространства, имеющая ограни­ченную фундаментальную область, содержит свободную абелеву нормальную подгруппу ранга п. Эта подгруппа состоит из сдви­гов, и Бибербах показал также, что для фиксированного п су­ществует только конечное число неизоморфных групп такого типа. Доказательство этого результата было упрощено Фробе- ниусом в [1911]; он также показал, что даже число классов сопряженности по таким подгруппам в произвольных л-мерных аффинных группах конечно.

Пусть J_n обозначает класс максимальных групп такого типа (п фиксировано). Маккарти в [1970] доказал, что группы из J_n можно определить как абстрактные группы с тем свойством, что они имеют свободную абелеву подгруппу ранга п и являются «едва бесконечными» (just infinite). Последнее означает, что сама группа бесконечна, но все ее собственные факторгруппы конечны. Это один из немногих известных примеров, когда класс геометрически определяемых групп удается просто опре­делить, используя только понятия теории абстрактных групп. (Другим примером является характеризация групп узлов в бо­лее чем четырехмерном пространстве, полученная Кервером в [1965].)

В. Арифметически задаваемые двумерные линейные группы

Основная масса весьма обширной литературы на тему, ука­занную в заголовке, относится не к истории комбинаторной теории групп, а к теории рнмановых поверхностей, автоморфных функций и дискретных групп. В работах Фрике и Клейна [1897], а также Фрике [1913] содержатся хорошие обзоры результа­тов из этой области. Краткое изложение более поздних резуль­татов можно найти в книге Магнуса [1974а].

Пусть задано множество преобразований Мёбиуса

«6-ЭУ—1

(Z—комплексный аргумент). Нетрудно показать (см. Фрике и Клейн [1897]), что эти преобразования порождают группу, ди­скретно действующую на части комплексной плоскости (группу Клейна) или в гиперболическом (неевклидовом) трехмерном пространстве в том и только том случае, когда группа G, по­рожденная матрицами дискретна в том смысле, как это было определено выше в на­стоящей главе. Пусть а, р, у, б — алгебраические целые числа из некоторого вполне вещественного поля алгебраических чи­сел К. Блюменталь в работах [1903, 1904) показал, как можно задать дискретное действие группы G в комплексном простран­стве размерности я, где п — это степень поля К над полем рациональных чисел. Группа G называется модулярной группой Гильберта. Мы не собираемся здесь затрагивать этот случай и вообще не собираемся обсуждать большинство случаев, когда арифметически задаваемая группа дискретно действует на ча­сти комплексной плоскости или на трехмерном гиперболическом пространстве. Вместо этого мы обсудим несколько специфиче­ских примеров. Возникающие в них группы появляются и в чи­сто теоретико-групповых исследованиях, причем вне связи со своим действием на каком-либо конкретном пространстве.

Мы рассмотрим следующие группы: прежде всего эллипти­ческую модулярную группу М, состоящую из преобразований Мёбиуса, для которых а, р, у, б е Z, затем группу Пикара Р, в которой а, р, у, б —гауссовы целые числа, наконец, группу Бьянки Во, для которой а, р, у, б — целые элементы квадратич­ного расширения поля рациональных чисел, порожденного мни­мым элементом д/—D , где D — целое положительное число. Разумеется, во всех этих случаях предполагается, что аб—Ру= = 1. Заметим, что Р = В\.

Модулярную группу М и ее подгруппы интенсивно изучали Клейн и Фрике в [1890, 1892]. Эта группа порождается двумя преобразованиями Мёбиуса а и б с матрицами

С -I) " С -J)

и может быть задана определяющими соотношениями

о² = б³= 1.

Эти утверждения легко вытекают из построения фундамен­тальной области для М в верхней полуплоскости комплексной плоскости, на которой М действует как дискретная группа пре­образований. Трудно сказать, кто первым нашел эту фундамен­тальную область. Ее построение содержится в неявном виде в теории редукции для бинарных квадратичных форм, и в этом смысле оно было известно уже Гауссу, которому, однако, никак нельзя приписать открытие задания группы М. С другой сто­роны, указанное задание было, безусловно, известно Дику (см. [1882)).

Подгруппы группы Л4, в особенности ее нормальные под­группы конечного индекса, представляют интерес с точки зре­ния теории алгебраических уравнений, алгебраической теории чисел и теории автоморфных функций. Причины такого интереса в полной мере рассмотрены Клейном и Фрике в [1890, 1892] и Фрике в [1926] ; здесь их было бы трудно изложить. Особенно важны так называемые главные конгруэнц-подгруппы М_п уров­ня п, состоящие из тех преобразований Мёбиуса, матрицы ко­торых сравнимы по модулю п с ±/, где / — единичная матрица. Клейн впервые отметил в [1880], а Фрике в [1886] и Пик в [1886] одновременно и независимо доказали, что М содержит нормальные подгруппы, более того, нормальные подгруппы ко­нечного индекса, не содержащие никакой подгруппы М_п. Доказа­тельства Фрике и Пика использовали изящные теоретико-число­вые соображения. Существует чисто теоретико-групповое дока­зательство, основанное на теореме Жордана — Гёльдера и на том факте, что в композиционном ряде для М/М_п содержатся только циклические группы и группы PSL(2,p). Это доказатель­ство (приведенное в явной форме у Магнуса в [1974а], где со­держится также дополнительная информация), быть может, вос­ходит еще к временам до 1914 г. Однако мы не смогли найти его в литературе.

Меннике в [1965] и, в более широком контексте, Басс, Мил- нор и Серр в [1967] доказали, что при п ^ 3 группы SL{n,Z) обладают так называемым конгруэнц-подгрупповым свойством. Это свойство состоит в том, что всякая нормальная подгруппа, не лежащая в центре, содержит конгруэнц-подгруппу. Отсюда непосредственно вытекает следующая чисто теоретико-группо­вая теорема:

Существует бесконечно много явно строящихся конечно за­данных бесконечных групп, в которых всякая нормальная под­группа имеет конечный индекс и пересечение всех нормальных подгрупп тривиально. Все эти группы нс содержат абелевых нормальных подгрупп.

До сих нор нс известно примера группы с такими свойства­ми, построение которой использовало бы только чисто теорети­ко-групповые методы. Тем не менее имеются общие теоремы, описывающие структуру таких групп (см. Вильсон [1971]).

Группа М является, вероятно, наиболее хорошо изученной бесконечной конечно заданной группой. Мы опускаем ссылки на работы, относящиеся к заданию подгрупп группы Л1. Груп­па М разлагается в свободное произведение двух своих цикли­ческих подгрупп второго и третьего порядков. Поэтому теорема Куроша из [1934] полностью описывает абстрактную структуру всех ее подгрупп. Изучалась же не абстрактная, а конкретная теоретико-числовая структура этих подгрупп. Упомянем, одна­ко, работу Б. Неймана [1933], где описывается построение мно­жества 5 подгрупп группы М_у характеризуемого тем, что каждая из этих подгрупп содержит порождающий а и любая пара вза­имно простых целых чисел входит в первый столбец ровно од­ной матрицы, представляющей некоторый элемент данной под­группы. Замечательно, что 5 имеет мощность континуума. Упомянем, наконец, работу Левина [1968], где доказана гипо­теза Б. Неймана, утверждающая, что всякая счетная группа вкладывается в подходящую факторгруппу группы М. Многое в развитии комбинаторной теории групп можно проиллюстри­ровать на примерах того, какую информацию о модулярной группе М давала нам эта теория. Доказательство результата Б. Неймана из [1933] использовало алгоритм построения под­групп в группе с известным заданием—так называемый метод Рейдемеистера— Шрейера, см. Шрейер [1927а]. Для характе­ризации подгрупп группы М как свободных произведений цик­лических групп порядка 2, 3 или оо требуется теорема Куроша о подгруппах (см. [1934]). Среди средств, использованных Ле­вином при доказательстве его теоремы из [1968], имеются очень мощные методы, развитые в комбинаторной теории групп. Их перечисление, однако, увело бы нас слишком далеко от темы.

Все группы Во, очевидно, дискретны и, что несколько менее очевидно, не действуют дискретно ни на какой части комплекс­ной плоскости. Бьянки в [1892], [1893а], [1893Ь] и Юмбер в [1915—1920] указали порождающие для этих групп и провели или хотя бы наметили построение фундаментальных областей для этих групп в трехмерном гиперболическом пространстве. Построение в явном виде проведено Бьянки в [1892] для D — = 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 15, 19 и Юмбером в [1915—1920] для О = 21.

Группа Р = В) еще до этого изучалась Пикаром в [1896], ко­торый нашел ее порождающие и фундаментальную область в трехмерном гиперболическом пространстве. В книге Фрике и Клейна [1897] этой группе посвящена целая глава. Там строится фундаментальная область, которая затем используется для зада­ния группы. Несмотря на прошедшее с тех пор время, трудности, возникающие при построении задания группы, исходя из вида ее фундаментальной области, весьма значительны даже для трех­мерного (вещественного) пространства. Только спустя почти сто­летие Суон в [1971] указал эффективный метод нахождения за­даний групп Во, дающий ответ в явном виде для D — 1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 15, 19. Работа Суона, основанная на статьях Бьянки и Юм- бера, использует также один топологический результат Макбета из [1964]. В той же работе [1971] Суон доказал некоторые об­щие теоремы, справедливые для В_п при достаточно больших D. Некоторые из этих теорем связаны с теоретико-числовыми свой­ствами кольца целых алгебраических чисел в поле, порожденном V— D. Для 0=1, 2, 3, 7, 11 явное задание группы Во было ука­зано Файном в [1974]. Оно было получено чисто алгебраическим методом, основывающимся на работе Кона (1968]. Статья Фаина проливает свет на внутреннюю структуру групп Во при указанных частных значениях D. А именно, в ней доказывается, что эти группы имеют подгруппы конечного индекса, которые можно представить как свободные произведения с объединенной подгруппой групп с хорошо изученной простой структурой. Со­ответствующий результат для D = 1 был получен ранее Валь- дингером в [1965] и Дрилликом в [1971].

Группе Пикара Р было уделено несколько больше внимания, чем другим группам Во- Это может объясняться влиянием ра­боты Фрике и Клейна [1897], где было получено простое задание группы Р. В их книге содержится краткая история проведенных к тому времени исследований, касающихся этой группы. В ней также отмечается важность группы Р для восходящей к Дирихле и Эрмиту арифметической теории бинарных квадратичных и эр­митовых форм с коэффициентами в кольце гауссовых целых чи­сел. Ссылки, относящиеся к этой теме, см. у Фрике и Клейна [1897, с. 91—93]. Среди более поздних работ имеется детальное исследование Сансоне [1923], где строится новое задание для Р, а также статья Дриллика [1971], где указывается бесконечное множество нормальных подгрупп конечного индекса в Р, не со­держащих конгруэнц-подгрупп.

С. Геометрические конструкции. Фуксовы группы

Конечно порожденные дискретные группы мёбиусовых преоб­разовании комплексной плоскости, отображающих внутренность круга на себя, называются фуксовыми группами. В действитель­ности обычно термин «фуксовы группы» используется по отно­шению к группам из более широкого класса, но для наших целей удобно использовать его только для упомянутых групп. Добавим к классу фуксовых (в нашем смысле) групп дискретные группы движений евклидовой плоскости и конечные группы преобразова­ний Мёбиуса. Как показали Фрике и Клейн в [1897, с. 186—187], получающийся класс групп совпадает с классом конечно поро­жденных групп, допускающих задание следующего типа:

.. аЬа:'ь:' = \.

a a a g

^d,^a\ vrV

Определяющие соотношения: <°=1 («а >2). ^С. • • • ^СЛ • •

Порождающие: с_р (р = 1, ..., л), d_a (о = 1, ..., s), а_у, Ь_у (v= 1, ..., g).

При этом не исключается возможность, что одно или два множества порождающих из числа {с_р}, {d₀}, {tf_v, М окажутся пустыми.

Фрике и Клейн получили этот результат геометрическим ме­тодом. Эти авторы использовали построение фундаментальных областей специальной формы в комплексной плоскости. При этом их доказательства далеко не просты и не вполне удовлетворяют сегодняшним стандартам строгости, однако результаты, несо­мненно, верны: они были подтверждены с использованием более мощных средств.

По-видимому, Фрике (которому принадлежит большая часть книги Фрике и Клейна [1897]) считал задания фуксовых групп с помощью определяющих соотношений важным средством опре­деления этих групп сжатым и чисто теоретико-групповым обра­зом, но почти не находил возможностей для их использования в других исследованиях.

Однако задания, введенные Фрике для групп некоторого класса, важного в геометрии и топологии (об этом пойдет речь ниже), использовались в огромном числе более поздних работ по комбинаторной теории групп. Помимо прочего на них прове­рялась верность и применимость новых теорем. Поскольку фук- совы группы без кручения являются также фундаментальными группами двумерных ориентируемых многообразий, развитие то­пологии в свою очередь приводило к возникновению новых во­просов, относящихся к этим группам. Вероятно, наиболее важ­ный из таких вопросов был поставлен Г. Хопфом на Междуна­родном конгрессе математиков в Цюрихе в 1932 г. Хопф спросил, может ли такая группа быть изоморфной своей факторгруппе, отличной от самой группы. Ясно, что этот вопрос можно задать по отношению к любой группе, определенной своим заданием, и он оказывается далеко не тривиальным, если группа конечно по­рождена и бесконечна. Довольно странно, что Хопф, по-види­мому, был первым, кто привлек внимание специалистов по тео­рии групп к этой проблеме.

Подробное описание того, как фуксовы группы возникают в более поздних работах по комбинаторной теории групп, потребо­вало бы значительного объема, и мы его отложим до обзора бо­лее позднего периода. Здесь все же упомянем диссертацию Гизе- кинга [1912], написанную по инициативе Макса Дэна. В первой части этой работы проводится явное построение фундаменталь­ной области для группы Ф₂ с порождающими а, b, с, d и опре­деляющим соотношением

aba~^lb ~^lcdc~^ld ¹ == 1.

Для этого на неевклидовой плоскости, представляемой внутрен­ностью единичного круга, строится правильный восьмиугольник, центр которого совпадает с центром единичного круга, а углы равны я/4. После этого оказывается возможным ввести поро­ждающие группы Ф₂ как (2Х 2)-матрицы с определителем, рав­ным + 1, и элементами из некоторого поля алгебраических чисел.

Эти матрицы определяют мёбиусовы преобразования, отобра­жающие единичный круг на себя и соответствующим образом пе­реводящие восьмиугольник в другой восьмиугольник, смежный с первым. Получающееся матричное представление группы Ф₂ за­тем используется в теоретико-групповых рассмотрениях. Точ­ность этого представления не доказывается непосредственно, а извлекается из геометрических соображений.

Вторая часть работы Гизекинга 11912] содержит единствен­ный появившийся до 1918 г. пример чисто геометрического по­строения фундаментальной области группы в трехмерном неев­клидовом пространстве. Это построение дает задание для груп­пы. Оно имитирует соответствующее построение в неевклидовой плоскости, где отражения относительно сторон треугольника с нулевыми углами приводят к группе с тремя порождающими и соотношениями, устанавливающими равенство единице квадра­тов этих порождающих. В трехмерном неевклидовом простран­стве роль треугольника выполняет тетраэдр. Само построение и возникающее задание группы коротко описаны у Магнуса в [1974а, с. 153 — 155]. Оригинальная работа Гизекинга почти не­доступна.

4. Группы кос и группы классов отображений

В работе по теории римановых поверхностей [1891] Гурвиц открыл и исследовал класс групп, которые затем, при другом их определении, получили известность как «группы кос». Это на­звание охватывает частный, хотя и важный вид групп. Связь между статьей Гурвица [1891] и более поздними результатами детально рассматривается в работе Магнуса [1974Ь]. Мы еще раз вкратце вернемся к этой теме в гл. II. 10. Сейчас же хотелось бы отметить, что в данном случае мы имеем дело с крайней и, можно надеяться, необычной ситуацией игнорирования важной работы. Статья Гурвица может расматривагься как первый под­ход к идее фундаментальной группы пространства произвольной размерности. Можно утверждать, что эта статья содержит также иллюстрацию к теореме о том, что в расслоенном пространстве фундаментальная группа базисного пространства действует как группа преобразований слоя. Разумеется, Гурвиц не имел в своем распоряжении общих понятий, участвующих в этой фор­мулировке, поскольку эти понятия появились много позднее, в результате длительного развития топологии. Тем не менее статья Гурвица написана очень ясно. Топологические доказательства в ней можно считать вполне строгими, хотя сейчас их можно было бы изложить по-другому. Вдобавок ко всему Гурвиц был хорошо известным математиком и статья была опубликована в одном из самых распространенных математических журналов своего времени. И тем не менее, по-видимому, его вклад в от­крытие группы кос был впервые упомянут лишь Магнусом в [1974Ь]. Однако работа Гурвица [1891] широко и часто упоми­налась в связи с другими затронутыми в ней вопросами.

В статье Гурвица [1891] также содержатся некоторые идеи, которые можно считать зачатками теории групп классов отобра­жений для двумерных многообразий. Однако основной вклад в развитие этой тематики до 1914 г. внесли Фрике и Клейн (см. [1897, с. 285—447] и [1912, с. 286—439]). Лишь небольшая ее часть относится к истории комбинаторной теории групп, и мы от­сылаем читателя к книгам Магнуса [1974b] и Бирман [1975], содержащим библиографию и обзор более поздних результатов.

Диссертация Дж. Нильсена [1913] состоит из двух частей. Первые три раздела посвящены связанной с дифференциаль­ной геометрией теме, предложенной Нильсену Ландсбергом. В последнем разделе исследуется задача нахождения наимень­шего числа неподвижных точек для взаимно однозначного то­пологического отображения тора в себя. Эта задача возникла из вопроса, поставленного Дэном, который стал научным ру­ководителем Нильсена после смерти Ландсберга. Важную роль в работе играет однородная модулярная группа GL(2, Z). Од­нако основное значение этой работы состоит в том, что Ниль­сен в ряде своих последующих работ продолжал заниматься задачей отыскания неподвижных точек для топологических ото­бражений двумерных многообразий в себя. Эти работы содер­жат теоретико-групповые результаты, важные для теории групп классов отображений. Некоторые ссылки и подробности можно найти в гл. II. 10.

Е. Дифференциальные уравнения, линейные группы и группы Ли

Шлезингер в [1909] дал обзор теории линейных дифферен­циальных уравнений со списком литературы, состоящим из 1742 работ, опубликованных с 1865 по 1907 г. Он цитирует много работ по линейным группам (над полями характеристи­ки 0). Вообще говоря, эти работы оказали влияние на более позднее развитие комбинаторной теории групп лишь в том же отношении, что и теория абстрактных конечных групп, а именно они привели к повышению уровня сложности и к введению но­вых аспектов в исследование групп. Все же можно выделить несколько работ, которые предвосхищают более позднее разви­тие комбинаторной теории групп, хотя воздействие некоторых из них сказалось лишь после того, как стали доступными новые мощные средства, пришедшие из алгебры и алгебраической геометрии.

Мы начнем наш обзор с исследования, которое восходит к работе Пуанкаре [1884], где ставятся следующие проблемы.

1. Дано линейное дифференциальное уравнение с алгебраи­ческими коэффициентами. Найти его группу.

2. Дано линейное дифференциальное уравнение второго по­рядка с коэффициентами, зависящими от произвольных пара­метров. Придать этим параметрам такие значения, чтобы груп­па уравнения была фуксова.

Вторая проблема указывает на происхождение затронутых вопросов: они возникли из теории автоморфных функций. Сам Пуанкаре проясняет это, цитируя в начале статьи свои преды­дущие работы, опубликованные в том же журнале, — даже на­звания этих работ подтверждают наше мнение (см. Пуанкаре 11882], [1883]).

доказал более точные ре-

Для случая п= 2 Фогт

Группа, упомянутая в первой проблеме, поставленной Пуан­каре,— это группа монодромии линейного (однородного) диф­ференциального уравнения. Выбрав п линейно независимых ре­шений этого дифференциального уравнения (порядка п) в окрестности неособой точки, а затем продолжив их аналитиче­ски вдоль k простых замкнутых петель вокруг k особых точек уравнения, получим определенное число линейных подстановок этих решений. Простым преобразованием уравнения можно до­стичь того, что матрицы этих подстановок будут иметь опреде­литель + 1. Эти матрицы и порождают группу монодромии М. Замена базиса приводит к сопряжению всех матриц при по­мощи фиксированной невырожденной матрицы. Далее Пуанкаре задает следующий вопрос (совершенно не зависящий от теории дифференциальных уравнений): какие величины нужно знать, чтобы определить класс сопряженности группы М в специаль­ной линейной группе SL(n, С) матриц порядка п с определите­лем 4-1 и матричными элементами, принадлежащими полю С комплексных чисел? Эти величины называются инвариантами, и Пуанкаре показывает, что для однозначного определения класса сопряженности группы М в SL(n, С), вообще говоря, достаточно знать коэффициенты характеристических уравнений для порождающих группы М и для конечного числа их произ­ведений. (Здесь имеются очевидные исключения: например, группа, порожденная верхнет льными матрицами.)

зультаты. В «общем случае» необходимо 3& — 3 инвариантов подгруппы в SL(2, С) с k порождающими, чтобы определить не один, а несколько, но не более 2*~², классов сопряженности в SL(2, С). Можно также интерпретировать некоторые из ре­зультатов Фогта как первое построение системы порождающих для группы автоморфизмов свободной группы. Впоследствии Фрике и Клейн [1897], [1911] развили эту теорию и применили ее к изучению групп классов отображений (см. Бирман [1975]) двумерных ориентированных многообразий с краем и без края. Гораздо позже Хоровиц [1972, 1975] дал систематическое алгебраическое обоснование и нашел чисто теоретико-групповые приложения некоторых из результатов Фрике и Клейна [1897], [1912]. Первоначальные исследования Пуанкаре также впослед­ствии вновь привлекли внимание и были значительно углублены и систематизированы, по крайней мере в своих алгебраических аспектах, Прочези [1976], Лероном [1976] и Размысловым

1974. .

Мы не можем документально обосновать несомненное прямое влияние этой деятельности Пуанкаре, Фогта, Фрике и многих других на чисто теоретико-групповые исследования в последую­щие годы. Но можно с уверенностью сказать, что интерес спе­циалистов в теории групп к конечно порожденным линейным группам поддерживался отчасти важностью этих групп для про­блем из других областей. Обзор Верфрица [1973] показывает, как много работы было здесь проделано с начала двадцатого столетия. Рассматриваемые группы имеют некоторые удиви­тельно простые свойства, особенно если матричные элементы принадлежат полю характеристики 0. В этом (и не только в этом) случае Мальцев [1940] доказал их финитную аппрокси­мируемость. Позже Сельберг [1960] установил, что всякая та­кая группа содержит нормальную подгруппу конечного индекса без кручения, а Тите [1972] доказал, что эти группы либо со­держат свободную подгруппу ранга 2 (а следовательно, и бес­конечного ранга), либо являются конечными расширениями разрешимых групп. Следует заметить, что вторая альтернатива включает группы верхнетреугольных матриц, для которых не имеет места теорема Пуанкаре о характеризации их классов сопряженности конечным числом инвариантов.

Из трех упомянутых здесь теорем только теорема Сельберга была бы, по крайней мере на уровне понятий, легкодоступна математикам до 1914 г. Термин «финитно аппроксимируемая» введен Ф. Холлом в 1955 г. Оглядываясь на пройденный путь, можно видеть, что это понятие естественно возникает из хорошо известных свойств факторгрупп по конгруэнц-подгруппам в мат­ричных группах над полями алгебраических чисел. В работе Мальцева [1940] фактически присутствует понятие финитной аппроксимируемости, хотя он не ввел специального термина. Однако только в ретроспективе плодотворные абстракции вы­глядят естественными.

Наконец, теорема Титса просто не могла быть сформулиро­вана до 1914 г., несмотря на то что свободные группы были хорошо известны. Дело в том, что они были известны как раз­новидность «наиболее общих» групп. То, что они появляются как подгруппы практически всех фуксовых групп, стало ясно только после того, как Рейдемейстер [1926] и Шрейер [1927а] развили метод вычисления задания подгруппы по заданию всей группы. Что же касается используемых Титсом методов.

например топологии Зарисского (см., например, Верфриц [1973]), то о них не могло быть и речи до 1914 г.

Существует другой аспект теории обыкновенных дифферен­циальных уравнений, который в конце концов окольным путем привел к развитию важных средств для исследования чисто теоретико-групповых проблем. Мы имеем в виду теорию, перво­начально называвшуюся теорией Пикара — Вессьо, которая была позже названа теорией алгебраических групп. Долгое вре­мя одной из ее главных целей было найти условия, при которых решения обыкновенного дифференциального уравнения могут быть выражены в замкнутой форме с помощью квадратур и некоторых функций, включая, конечно, алгебраические функции и коэффициенты. С самого начала эта теория рассматривалась как обобщение теории Галуа алгебраических уравнений. Она привела к теории матричных групп, матричные элементы ко­торых удовлетворяют определенным алгебраическим уравне­ниям (например, уравнению, характеризующему ортогональные матрицы) и, наконец, позволила доказать, например, следую­щую теорему Пикела [1971], которая относится к чистой тео­рии групп и никак не связана с дифференциальными уравне­ниями:

Пусть Р— конечно порожденная нильпотентная группа, т. е. группа, в которой только конечное число членов нижнего цент- рального ряда отлично от единицы. Рассмотрим множество S всех ее различных конечных факторгрупп. Тогда существует только конечное число нильпотентных групп, которые имеют то же множество S конечных факторгрупп, что и Р.

До сих пор не известно доказательства этой теоремы, не использующего теории алгебраических групп.

Мы привели результат Пикела как иллюстрацию единства математики. Мы не можем даже пытаться полностью осветить историю появления этого результата или воздать должное мно­гим математикам, способствовавшим этому. Упомянем только исходные работы Пикара [1896] и Вессьо [1892], раннее и очень прозрачное систематическое обоснование всей теории, данное Лёви [1908], важный обзор Ритта [1950], а также записки лек­ций Хамфри [1975], которые содержат ссылки на более поздние работы.

Построенная Ли теория групп преобразований, или «непре­рывных групп», как они назывались долгое время, была перво­начально связана с теорией дифференциальных уравнений в частных производных. Одной из последних важных работ рас­сматриваемого периода, из которой эта связь ясно видна, по- видимому, является исследование Эмми Нетер [1918], получив­шей «промежуточные интегралы» системы дифференциальных уравнений в частных производных, исходя из группы Ли, остав­ляющей эту систему инвариантной.

Существует четко различимое, хотя не очень хорошо под­твержденное документально, раннее влияние теории групп Ли на теорию конечных групп. Построение простых групп конечного порядка, данное Диксоном [1901а] в его образцовой работе по (конечным) линейным группам, а также в его последующих работах (Диксон [190lb], [1905]), идет параллельно построе­нию простых групп Ли, хотя, конечно, методы здесь другие. Данная Бернсайдом [1911, с. 166] характеризация конечных групп, являющихся прямыми произведениями групп, порядок которых есть степень простого числа, ясно демонстрирует пере­нос понятия нильпотентной группы с групп Ли на конечные группы. Теперь (1980) мы говорим о «конечных простых группах типа Ли».

Из письма Ф. Холла известно, что он заинтересовался тео­рией групп, читая книгу Бернсайда [1911] по теории групп ко­нечного порядка. Это устанавливает связь между работами Бернсайда по группам, порядок которых есть степень простого числа, и статьей Ф. Холла [1933] на ту же тему. Название ра­боты Холла «К теории групп, порядок которых есть степень простого числа» не отражает того факта, что она является ве­хой и в истории комбинаторной теории групп. Такая роль этой статьи обусловлена одним из ее разделов, посвященным «ком­мутаторному исчислению». В этом разделе Холл систематически исследует довольно сложную взаимосвязь между ассоциативной групповой операцией и операцией, сопоставляющей двум эле­ментам группы их коммутатор. Результатом явился первый по­дробный анализ групп нижнего центрального ряда (термин, введенный Холлом) свободных групп и их связей с другими вполне инвариантными подгруппами свободных групп.

В конце концов выяснилось, что нижний центральный ряд свободных и многих других групп определяет некоторую алгеб­ру Ли и что корни такой связи можно найти в написанных в начале века работах Кемпбелла [1898]. Бейкера [1904] и Хаусдорфа [1906]. Эти работы были непосредственно мотиви­рованы теорией групп Ли.

Взаимосвязь между нижним центральным рядом и ассоции­рованной с ним алгеброй Ли подробно описана в пятой главе книги Магнуса, Карраса и Солитэра [1966]. Там же приведено доказательство так называемой формулы Кемпбелла — Бейке­ра— Хаусдорфа. Что касается ранней истории этой формулы, см. Шмид [1982]. В комбинаторной теории групп ее впервые применил Адельсбергер в своей диссертации [1930], где пер­вые два ее члена использовались для исследования иильпотент- ных групп класса 2 (т. е. групп, для которых уже третий член нижнего центрального ряда тривиален). Эта диссертация была основана на одной идее из работы [1927] Рейдемейстера (ко­торый был ее научным руководителем). Однако в ней нет ссылок на первоначальную работу Хаусдорфа [1906], хотя Рейдемей- стер говорил Магнусу в 1936 г., что именно эта работа под­сказала ему тему диссертации. Впоследствии Магнус заметил связь обсуждаемой формулы со своими исследованиями и ис­пользовал ее в полной мере в 1950 г. Существуют и еще более поздние работы, где применяется эта формула, все же случаев ее применения немного, если не говорить о результатах, полу­ченных, исходя из выражаемой этой формулой глубокой связи между алгебрами Ли и группами Ли, но такие результаты все равно должны сопровождаться доказательствами, не исполь­зующими рассматриваемую формулу. Более подробно о рабо­тах Ф. Холла пойдет речь в гл. II. 7.

6. Конечные группы

После публикации в 1870 г. «Трактата о подстановках» Ка­милла Жордана теория конечных групп стала быстро разви­ваться. Появились многочисленные учебники на английском, французском, немецком, итальянском и русском языках, неко­торые из них были целиком посвящены теории групп, в других ей отводились главы как важной части алгебры, особенно тео­рии Галуа. Теория представлений конечных групп группами матриц, развитая Фробениусом, Бернсайдом, Шуром и другими, ввела в теорию групп новые аспекты. Большое число результа­тов, некоторые из них выдающегося значения, появилось в США, где интерес к чистой математике быстро рос и где Истон [1902] опубликовал библиографию по теории групп.

Ввиду огромного объема и большой разбросанности сведе­ний о конечных группах, накопленных уже после 1914 г., во многих случаях не удается продемонстрировать влияние резуль­татов в области конечных групп на позднейшее развитие комби­наторной теории групп, просто цитируя те или иные работы. Например, проблема отыскания конечно заданной простой бес­конечной группы стала совершенно естественной после 1920 г. Тот факт, что успех в ее решении пришел гораздо позже (Томп­сон, Хигман; см. Хигман [1974]), недвусмысленно говорит о чрезвычайной и сразу выявляющейся трудности задачи. Дру­гими понятиями теории конечных групп, которые допускают естественные обобщения, являются понятия разрешимости (опре­деляемое в терминах обрыва производного ряда) и нильпотент­ности (уже обсуждавшееся выше). Здесь мы снова сталкиваем­ся со значительными трудностями даже для случая конечно по­рожденных групп, исключение составляют лишь абелевы группы. Однако движение вперед во всей этой области было более или менее устойчивым благодаря возможности найти разного рода «разумные» дополнительные ограничения, которые ведут к под­дающимся решению задачам. Так, в случае теоремы Жордана — Гёльдера, которая неверна даже для бесконечных циклических групп, Хирш 11938] показал, что тем не менее можно спасти ее в ослабленной форме, если ограничиться классом разрешимых групп с условием максимальности для подгрупп. Такие группы называются полициклическими, так как они имеют конечный нормальный ряд с циклическими факторами. Наборы цикличе­ских факторов для двух различных рядов не обязательно сов­падают, но число бесконечных факторов является инвариантом! Полициклические группы всегда имеют конечное задание. По этому и другим близким вопросам см. Робинсон [1972] и гл. II. 10.

Описывать и дальше с той же степенью подробности все ре­зультаты, возникающие из теории конечных групп, значило бы включить в книгу обзор большей части комбинаторной теории групп вплоть до настоящего времени. Здесь мы не можем сде­лать этого и воздержимся даже от упоминания о переносе еще каких-либо понятий с конечных групп на бесконечные, хотя сре­ди этих понятий многие, как, например, понятие подгруппы Фраттини (т. е. подгруппы, порожденной элементами, которые не могут входить нив какое минимальное множество порождаю­щих), имеют явно «комбинаторный» характер.

Некоторые методы и конструкции, которые впервые появи­лись в теории представлений групп, были использованы в ком­бинаторной теории групп. Здесь перенос понятий менее «есте­ствен», чем в упомянутых выше случаях, и мы опишем ситуацию более детально.

Первый пример — это метод отыскания всех представлений (конечной) группы как транзитивной группы перестановок, воз­никающих путем рассмотрения действия элементов группы на правые смежные классы по некоторой подгруппе. Мы не будем стараться проследить возникновение этого метода, упомянем лишь, что он появляется со всеми подробностями и следствиями уже в работе Фробениуса [1895]. Затем он был использован Шрейером [1927а] для очень элегантного решения проблемы распознавания равенства в свободных группах, т. е. для дока­зательства того, что различные несократимые слова, составлен­ные из свободных порождающих, представляют различные эле­менты группы (Шрейер называет этот факт «существованием свободных групп»). Само собой разумеется, Шрейер не ссылает­ся на Фробениуса или кого-нибудь еще. Этот метод был тогда общеизвестен.

Более сложным примером является открытие сплетения АгВ двух групп А и В Калужниным и Краснером [1918] (которые называли его «общим произведением» — le produit general). Сплетение АгВ может быть естественно получено из регуляр­ного представления группы А матрицами перестановок, в кото­рых ненулевые матричные элементы заменяются произвольными элементами из В. Поэтому можно сказать, что эта конструкция восходит к более ранним авторам, например к Фробениусу [1898], [1899]. Кербер [1971] указывает других возможных предшественников этой конструкции. Здесь, однако, следует за­метить две вещи. Прежде всего Калужнин и Краснер дают аб­страктное определение группы А г В. Но более важно то, что они доказывают следующую теорему:

Любая группа G, содержащая нормальную подгруппу, изо­морфную В, такую, что G/B^A, изоморфна некоторой под­группе в А г В.

Этот результат делает сплетения мощным средством теории многообразий групп. Подробности см. в книге X. Нейман [1967].

По-видимому, самое замечательное средство в комбинаторной теории групп, возникшее из ранней (до 1914 г.) теории пред­ставлений групп,— это мультипликатор Шура. Шур в [1904] начинает с решения следующей задачи: пусть // — конечная группа дробно-линейных преобразований, состоящая из матриц а, Ь, ... порядка п. Сами эти матрицы образуют группу G, в центре которой лежит абелева подгруппа А, такая, что G/А ^ Н. Подгруппа А определяется неоднозначно, так как матрицы а, Ъ, ... могут быть без изменения Н заменены на пропорцио­нальные им Яа, рЬ, ... (где Я, р, ... — комплексные числа, не равные нулю). Задача состоит в том, чтобы найти подгруппы А наименьшего порядка. Шур показывает, что решение этой за­дачи может быть сведено к построению определенной абелевой группы М, которую он называет мультипликатором абстрактной группы И. Группа М может быть определена следующим усло­вием: существуют зависящие от Н группы К (называемые груп­пами представлений (Darstellungsgruppen)), такие, что К со­держит в своем центре некоторую подгруппу М, такую, что К/М&&Н и при этом М содержится в коммутанте группы К и имеет минимальный порядок. Группа М одна и та же для всех таких групп К.

Шур в [1904] показывает, что М можно построить, исходя непосредственно из таблицы умножения для Н. Таким образом, по крайней мере в принципе, группа М может быть построена, если известно задание группы И порождающими и соотноше­ниями.

Оказалось, что мультипликатор М группы И является вто­рой группой когомологий группы Н с коэффициентами в группе С^ф ненулевых комплексных чисел, построенной Эйлеибергом и Маклейном [1949]. Это немедленно становится ясно, если читать работу Шура после статьи Эйленберга и Маклейна, которые, впрочем, не сознавали эту связь в 1949 г., о чем говорится в за­мечаниях на с. 180—181 книги Маклейна [1963].

Прошло некоторое время, прежде чем теория когомогологий групп стала полезной в комбинаторной теории групп. Сегодня это, несомненно, так, в частности Баумслаг [1976а] использовал мультипликатор Шура для доказательства того, что некоторые группы не являются конечно заданными. Он заметил, что груп­па, у которой мультипликатор Шура имеет бесконечное число порождающих, не может быть конечно заданной (обратное не­верно, см. Баумслаг [1976b]).

Заметим мимоходом, что Фрике и Клейн [1897, с. 200—209] занимались очень частным случаем задачи Шура для (беско­нечных) фуксовых групп.

Обратившись теперь к работам по теории абстрактных групп, которые много позже привели к важным достижениям, мы должны, несомненно, первое место отвести проблеме, поставлен­ной Бернсайдом в [1902]. Пусть В (л, е) обозначает группу с п порождающими, которая задана определяющими соотношениями х^е = 1, где п и е фиксированы, а х пробегает все множество слов в алфавите порождающих. Бернсайд задается вопросом* для каких значений пне группа В(п, е) конечна. Ответ на этот вопрос тривиален для всех конечных п и е= 1, 2. Бернсайд до­казал, что В конечна, если е = 3, а немного позже де Сегье в [1904, с. 72] доказал то же самое для п = 2 и е = 4. Следую­щие 4 работы на эту тему появились в 1933, 1940 и 1950 гг. Напи­саны они соответственно Леви и ван дер Варденом, И. Н. Сано- вым, Магнусом и Мейером-Вундерли. Обзор истории этой про­блемы до 1960 г. можно найти в книге Магнуса, Карраса и Со- литэра [1966, с. 390—398]. Хотя все еще остается много откры­тых вопросов, самая трудная часть проблемы Бернсайда была решена: С. И. Адян и П. С. Новиков доказали, что В(п, е) бес­конечна для всех п^2 и нечетных ^^ 665 (см. Адян [1975]). Возможно, эта работа является самой трудной для чтения сре­ди всех работ по математике, которые когда-либо были напи­саны. Дело не только в ее длине (335 с.). Существуют и другие очень длинные работы, даже в теории групп, например доказа­тельство Фейта и Томпсона [1963] того, что группы нечетного порядка являются разрешимыми. Но по крайней мере читатель, знакомый с теорией конечных групп и их представлений, на про­тяжении всей работы Фейта и Томпсона будет сталкиваться со знакомыми терминами и с употреблением знакомых ему теорем. В работе Новикова и Адяна все обстоит иначе. Ее нужно читать слово за словом, с самого начала. Доказательство основано на чрезвычайно сложных комбинаторных рассуждениях.

Само собой напрашивается сравнение влияния проблемы Бернсайда на комбинаторную теорию групп с влиянием послед­ней теоремы Ферма на развитие алгебраической теории чисел.

Обе проблемы по своей природе являются довольно частными. В случае проблемы Бернсайда автор сам почувствовал это, включив результат своей работы 1902 г. в свой учебник [1911] всего лишь как упражнение на с. 143. Но, несмотря на их до­вольно частный характер, обе проблемы обворожили целые по­коления математиков и никогда не были забыты. В случае про­блемы Бернсайда это не так легко подтвердить документально ссылками на опубликованные статьи, но Дэн упоминал ее в своих устных лекциях еще до появления работы Леви и ван дер Вардена в 1933 г. Наконец, обе проблемы являлись стимулято­рами развития, на них опробывались новые методы, совершен­ствовались старые. В случае последней теоремы Ферма это хо­рошо известно. В случае проблемы Бернсайда на это указывает по крайней мере обзор ее истории до I960 г. (цитированный выше). Следует заметить, что решение проблемы Бернсайда позволило С. И. Адяну и П. С. Новикову (см. Адян [1975]) при­думать особенно удивительные примеры феноменов в теории бес­конечных групп, опровергающие все ожидания, которые могли возникнуть у нас на основе опыта обращения с группами, кото­рые в каком-то смысле близки к конечным группам. В анализе и топологии за долгое время мы привыкли к сюрпризам, кото­рые преподносит нам бесконечность. Здесь мы заметим, что эти сюрпризы не обязательно связаны с несчетностью конти­нуума. Счетного множества конечных слов в конечном алфавите вместе с простыми правилами преобразования оказывается до­статочно. Более подробно о проблеме Бернсайда см. гл. II. 7.

В том же году, что и работа Бернсайда, появилась статья Хойера [1902] примерно такой же длины и такого же уровня математической сложности, но судьба ее была иной, чем у ра­боты Бернсайда: ее постигло полное забвение (наше внимание к ней было привлечено Гашюцем, сообщившим о ней Баум- слагу). Тем не менее и в своих методах, и в результатах она предвосхищает хорошо известную формулу, найденную Шрейе- ром [1927а], которая является основой для одного из важных методов комбинаторной теории групп.

На современном языке содержание этой работы может быть описано следующим образом: пусть Гу — свободная полугруппа с v порождающими и с правым (но не с левым) сокращением. Если мы постулируем соотношения между ее порождающими (т. е. равенства вида Wi = W₂, где W₂ — слова в алфавите порождающих и где = U?₂ влечет за собой W\W = W₂\V для всех слов W и, обратно, из = W₂W для всех W следует W\ = W₂), то элементами из Гу будут классы равных друг другу элементов. Предположим, что мы вводим столько соотношений, что число классов эквивалентности становится равным конеч­ному числу п. Тогда эти классы эквивалентности образуют труп­

пу (это не обязательно верно, если п бесконечно). Хойер дока­зывает следующую теорему:

Необходимо по крайней мере nv — (п—1) соотношений, что­бы получить конечное число классов эквивалентности. С другой стороны, для любых конечных значений v и п мы всегда можем найти nv— (п—1) соотношений так, что Tv будет изоморфна данной конечной группе порядка п с v порождающими.

Затем Хойер замечает, что в группе имеют место оба закона сокращения, хотя в Tv левый закон сокращения не может быть выведен из правого. Он также замечает, что конечная группа порядка п с v порождающими в принципе может быть опреде­лена меньше чем nv— (п—I) соотношениями, если мы допу­скаем оба закона сокращения.

Число nv — (п—1) — это, конечно, в точности число свобод­ных порождающих подгруппы индекса п в свободной группе с v свободными порождающими, которое было найдено Шрейером [1927]. Замечательно, что доказательства Хойера и Шрейера ис­пользуют также один и тот же метод: Хойер представляет эле­менты из G словами (т. е. элементами из Г_У) минимальной длины. Это — в точности определение минимальной шрейеров- ской системы представителей смежных классов свободной груп­пы по подгруппе. Надо также заметить, что Хойер не только вводит понятие полугруппы раньше, чем это сделал де Сегье [1904], которому обычно приписывается это понятие, но, кроме того, он понимает роль законов сокращения (которые де Сегье считал заданными a priori) и независимость правого и левого законов сокращения.

Почти наверняка Шрейер не знал о существовании работы Хойера. Название «Об определении и исследовании транзитив­ных групп», конечно, не отражает ее содержания. В период, когда была опубликована эта работа, появлялись многочислен­ные статьи по транзитивным группам перестановок, которые не имели ничего общего с методами типа использованных Хойером, так что вполне понятно, что люди, интересовавшиеся возникно­вением комбинаторных аспектов теории групп, проглядели ра­боту Хойера и тогда, и позднее. С другой стороны, по крайней мере некоторое время, Хойер был активно работающим исследо­вателем. Его статьи по алгебре и теории групп появлялись с 1897 по 1906 г. Очевидно, он не пытался найти дальнейшее при­ложение своего подхода к теории групп, заданных порождаю­щими и соотношениями. Единственное объяснение, которое мы можем дать этому факту, несколько неопределенно — просто было слишком рано. В конце концов, никто не исследовал под­группы свободных групп систематически до работы Нильсена [1921]. Работа Хойера была вновь открыта Гашюцем [1956], ко­торый ссылается на нее.

Последнее замечание, которое мы хотим здесь сделать о влиянии теории конечных групп, существовавшей до 1914 г., на комбинаторную теорию групп, нельзя считать абсолютно под­твержденным, хотя оно основано на разумной, по нашему мне­нию, догадке. Наряду с Ремаком [1911] О. Ю. Шмидт [1913] был первым, кто обобщил теорему об однозначном разложении групп в прямое произведение неразложимых сомножителей с класса конечных абелевых групп на класс всех конечных групп.

Поскольку О. Ю. Шмидт в [1916] подчеркивал важность включения, насколько это возможно, бесконечных групп в об­щую теорию абстрактных групп и поскольку А. Г. Курош посе­щал в 1930 г. семинар Шмидта, мы высказываем предположе­ние, что статья Куроша 1934 г. мотивировалась попыткой пере­нести теорию прямых произведений групп в теорию недавно от­крытых свободных произведений групп, которые, как отмечает Курош, были введены Шрейером в [1927а]. Один из результа­тов этой статьи — доказательство теоремы Куроша о подгруп­пах, которую можно рассматривать как первую общую струк­турную теорему в комбинаторной теории групп. Весьма замеча­тельно, что теория разложений групп на свободно неразложимые сомножители оказалась значительно проще, чем теория разло­жений на прямо неразложимые сомножители. Подробнее теория свободных произведений будет описана в гл. II. 4.

1