Часть I начальный период развития комбинаторной теории групп

Глава I. 1 введение в часть I

Комбинаторную теорию групп можно охарактеризовать как теорию групп, которые описываются порождающими и опреде­ляющими соотношениями или, как теперь часто говорят, своим заданием (presentation)¹). Конечно, это не полное определе­ние данной области математики, и мы даже не будем пытать­ся дать таковое. Но по крайней мере для ч. I такого описания нам будет достаточно.

Первая проблема, с которой сталкивается историк, состоит в отыскании начального момента развития. В нашем случае это довольно просто. Работа Вальтера фон Дика [1882] — пер­вая статья, в которой порождающие и определяющие соотно­шения не только вводятся как новые понятия, но и эффективно используются в математическом исследовании. Вполне веро­ятно, что по крайней мере зародыши идей Дика можно проследить и у более ранних авторов. Тщательное изучение возникновения различных аспектов понятия группы было про­ведено Вуссингом в [1969].

Начиная с обзора и анализа содержания первой статьи Дика, наша книга описывает развитие комбинаторной теории групп, ее понятия, задачи, результаты и связь с другими обла­стями математики, особенно с топологией. Здесь мы сталкиваем­ся со второй трудностью, ожидающей любого историка. Невоз­можно написать всеобщую историю. В случае математики даже технические термины, появляющиеся в важных для на­шего рассмотрения дисциплинах, можно объяснить лишь весьма поверхностно. Мы пытались разрешить эти трудности посредством компромисса, средства, которое по самой своей природе не может быть вполне удовлетворительным.

Часть I нашей книги охватывает период с 1882 по 1918 г.— конец первой мировой войны. Причина выбора именно этого интервала не только в том, что война сократила математическую «продукцию» в участвовавших в ней странах. В это время произошло также изменение в характере исследований в ком­бинаторной теории групп. После войны появились новые авторы и новые проблемы, и вся эта область начала самостоятельное существование. Это — тема ч. II.

Главы 1.2—1.5 части I в основном следуют историче­скому ходу развития, при этом в гл. 1.5 рассматривается толь­ко одна тема — представление групп графами. В этих гла­вах мы пытались свести технические трудности к минимуму. Надеемся, что содержащийся в них материал будет доступен любому читателю, знакомому с основными фактами теории групп. Возможно, не совсем так обстоит дело с большой по объему гл. 1.6, которая разбита на шесть разделов. В ней рассматриваются многочисленные исследования по теории групп, которые появились до 1918 г., но не оказали тогда не­посредственного влияния на развитие комбинаторной теории групп. Источники упомянутых исследований разнообразны, например теория арифметических линейных групп, теория фуксовых групп, римановы поверхности, дифференциальные уравнения и даже теория конечных групп. Важность этих ис­следований выявилась лишь позднее (а в ряде случаев и го­раздо позднее). В гл. 1.6 не только описываются исходные исследования, появившиеся до 1918 г., но говорится также об их развитии после 1918 г. Это не мешает нам вернуться к тем же темам в другом контексте в ч. II.