- •Часть I начальный период развития комбинаторной теории групп
- •Глава I. 1 введение в часть I
- •Глава 1.6 требует в какой-то мере больших предварительных знаний, чем другие главы. Наоборот, для гл. 1.7, где мы даем обзор состояния дел к концу рассматриваемого периода, таких знаний не требуется.
- •Глава 1.2 основание теории: теоретико-групповые исследования дика
- •Глава I. 3 начало: теория дискретных групп
- •Глава 1.4 побудительные мотивы: фундаментальные группы топологических пространств
- •Раздел 11 статьи Титце предваряется краткой сводкой, относящейся к понятиям порождающих и определяющих соотношений. Вслед за этим Титце отмечает:
- •Глава 1.5 описание групп с помощью графов
- •Глава 1.6 п р ед в ест н и ки последующего прогресса
Часть I начальный период развития комбинаторной теории групп
Глава I. 1 введение в часть I
Комбинаторную теорию групп можно охарактеризовать как теорию групп, которые описываются порождающими и определяющими соотношениями или, как теперь часто говорят, своим заданием (presentation)1). Конечно, это не полное определение данной области математики, и мы даже не будем пытаться дать таковое. Но по крайней мере для ч. I такого описания нам будет достаточно.
Первая проблема, с которой сталкивается историк, состоит в отыскании начального момента развития. В нашем случае это довольно просто. Работа Вальтера фон Дика [1882] — первая статья, в которой порождающие и определяющие соотношения не только вводятся как новые понятия, но и эффективно используются в математическом исследовании. Вполне вероятно, что по крайней мере зародыши идей Дика можно проследить и у более ранних авторов. Тщательное изучение возникновения различных аспектов понятия группы было проведено Вуссингом в [1969].
Начиная с обзора и анализа содержания первой статьи Дика, наша книга описывает развитие комбинаторной теории групп, ее понятия, задачи, результаты и связь с другими областями математики, особенно с топологией. Здесь мы сталкиваемся со второй трудностью, ожидающей любого историка. Невозможно написать всеобщую историю. В случае математики даже технические термины, появляющиеся в важных для нашего рассмотрения дисциплинах, можно объяснить лишь весьма поверхностно. Мы пытались разрешить эти трудности посредством компромисса, средства, которое по самой своей природе не может быть вполне удовлетворительным.
Часть I нашей книги охватывает период с 1882 по 1918 г.— конец первой мировой войны. Причина выбора именно этого интервала не только в том, что война сократила математическую «продукцию» в участвовавших в ней странах. В это время произошло также изменение в характере исследований в комбинаторной теории групп. После войны появились новые авторы и новые проблемы, и вся эта область начала самостоятельное существование. Это — тема ч. II.
Главы 1.2—1.5 части I в основном следуют историческому ходу развития, при этом в гл. 1.5 рассматривается только одна тема — представление групп графами. В этих главах мы пытались свести технические трудности к минимуму. Надеемся, что содержащийся в них материал будет доступен любому читателю, знакомому с основными фактами теории групп. Возможно, не совсем так обстоит дело с большой по объему гл. 1.6, которая разбита на шесть разделов. В ней рассматриваются многочисленные исследования по теории групп, которые появились до 1918 г., но не оказали тогда непосредственного влияния на развитие комбинаторной теории групп. Источники упомянутых исследований разнообразны, например теория арифметических линейных групп, теория фуксовых групп, римановы поверхности, дифференциальные уравнения и даже теория конечных групп. Важность этих исследований выявилась лишь позднее (а в ряде случаев и гораздо позднее). В гл. 1.6 не только описываются исходные исследования, появившиеся до 1918 г., но говорится также об их развитии после 1918 г. Это не мешает нам вернуться к тем же темам в другом контексте в ч. II.