Раздел 11 статьи Титце предваряется краткой сводкой, от­носящейся к понятиям порождающих и определяющих соотно­шений. Вслед за этим Титце отмечает:

«Сразу видно, что две группы, определенные различными системами по­рождающих и определяющих соотношений, могут быть изоморфными... Од­нако не решена ни общая проблема описания всех способов получения дан­ной группы, ни даже частная проблема отыскания метода распознавания по заданиям двух групп, изоморфны ли они.»

Затем Титце вводит суммы показателей степени порождаю­щих, входящих в определяющие соотношения группы, рассмат­ривает матрицу, составленную из этих сумм показателей, и ее элементарные делители, отмечает, что они, по существу, яв­ляются инвариантами абелевой группы, получаемой из заданной группы наложением соотношений коммутативности, и, наконец, доказывает, что для изоморфных групп инварианты соответ- -ствующнх абелевых групп совпадают. Это приводит его к упо­мянутому выше открытию, что коэффициенты кручения Пуан­каре могут быть вычислены по заданию фундаментальной груп­пы. В свое рассмотрение Титце включает также примеры пар неизоморфных групп с одинаковыми инвариантами соответ­ствующих абелевых групп.

В конце разд. 14 (с. 80) работы [1908] Титце следующим образом суммирует свои результаты о роли фундаментальной группы:

«...таким образом, фундаментальная группа ориентируемого (zweiseitige) замкнутого трехмерного многообразия характеризует его в большей степени, чем все ранее известные топологические инварианты, вместе взятые. Однако это утверждение должно быть до некоторой степени ограничено. В то время как относительно двух числовых последовательностей всегда можно узнать, совпадают ли они, вопрос о том, изоморфны ли две группы, не всегда разре­шим. Таким образом, для фундаментальных групп ситуация не такая, как для других топологических инвариантов: вопрос о совпадении или несовпаде­нии фундаментальных групп двух многообразий нс всегда разрешим».

Последний раздел работы Титце содержит построение двух негомеоморфных многообразий, которые оба имеют фундамен­тальную группу порядка 5.

Теоретико-групповая часть работы Титце [1908] отличается .исключительной ясностью. Доказательства совершенно прозрач­ны, и их правильность очевидна. Оценка ее топологической части лежала бы далеко в стороне от предмета настоящей книги. Следует, однако, отметить, что Титце приводит множе­ство ссылок и на каждом шагу отмечает зависимость своей работы от работы Пуанкаре. Фактически некоторые части его большой статьи можно читать как разъясняющие комментарии к соответствующим частям статьи Пуанкаре.

Результат Титце об эквивалентности конечных заданий групп и его тест на изоморфизм, основанный на изоморфизме фактор­групп по коммутанту, являются первыми теоремами в комбина­торной теории групп после Дика и де Сегье. Обе теоремы были доказаны теоретико-групповыми методами и обе возникли из открытой Пуанкаре возможности приложения теории групп к топологии. Помимо этого, результаты Титпе были мотивированы специфическими трудностями, возникающими при работе с груп­пами, для которых известно только их задание с помощью по­рождающих и определяющих соотношений.

Четыре статьи Дэна [1910], [1911], [1912], [1914] замеча­тельным образом углубляют и продолжают работу Титце. Дэн также отдает должное открытию Пуанкаре фундаментальной группы как побудительной причине для своей работы. Он об­наруживает, что трудности в комбинаторной теории групп по­являются на значительно более низком уровне, чем тот, на ко­тором находится проблема изоморфизма, поставленная Титце.

Дэн получил решения поставленных им теоретико-групповых проблем в ряде важных случаев. Он также решил топологиче­скую задачу, поставленную Титце в [1908, с. 98], изучив фун­даментальную группу некоторого пространства. Но в отличие от Титце он не пользовался алгебраическими методами. Дока­зательства его алгебраических результатов опирались на тео­рию одномерных комплексов. Рассмотрим теперь его работы более подробно.

Работа Дэна [1910] названа «О топологии трехмерного пространства». Начинается она, однако, с главы, относящейся к группам, определяемым конечным заданием. Следующая его работа [1911] целиком посвящена таким группам. Мы сейчас обсудим обе эти статьи, говоря о них как о «первой» и «вто­рой».

Вторая статья начинается с формулировки трех фундамен­тальных проблем *):

1. Проблема распознавания равенства (слов) (названная Дэном Identitaetsproblem). Пусть произвольный элемент группы задан своим построением из порождающих. Найти метод опре­деления за конечное число шагов, равен этот элемент единице или нет.

2. Проблема распознавания сопряженности (названная Дэ­ном Transformationsproblem). Пусть даны два произвольных элемента S и Т группы. Найти метод выяснения, сопряжены ли S и Г, т. е. существует ли в группе такой элемент (/, что

S = UTU~\

3. Проблема распознавания изоморфизма. Даны две группы. Выяснить, изоморфны они или нет (а также является ли дан­ное соответствие изоморфизмом).

Первые две проблемы ставились в обеих работах, но особо выделены во второй. Третья проблема появляется только во второй, но, как было упомянуто выше, была сформулирована (без специального выделения) уже Титце в [1908]. В [1911] Дэн приводит топологическую мотивировку этих проблем. Ци­тируем:

«Всякая эаузленная кривая в пространстве требует для своей полной ха­рактеризации решения этих трех проблем в частном случае. Всякой кривой К соответствует бесконечная группа G_K, определяемая описанным выше обра­зом (т. е. посредством конечного задания). Кривая К иезаузлена тогда и только тогда, когда группа G_K абелева. Отсюда получаем решение проблемы распознавания равенства. Всякой другой кривой в пространстве соответ­ствует в G_K определенный элемент. Две кривые в пространстве могут быть непрерывно деформированы одна в другую, не задевая К, в том и только том

^!) В названиях этих проблем слово «распознавание» часто опускают. — Прим, перев.

случае, когда соответствующие элементы в G_K сопряжены. Наконец, вопрос о том, может ли данная кривая К' быть непрерывно н без самопересечений деформирована в кривую К, требует решения третьей проблемы для G н

^GK^>

Этот отрывок требует значительных комментариев.

В своей первой статье Дэн доказал чисто топологический результат, известный с тех пор под названием «леммы Дэна», из которого вытекает, что группа узла абелева и, значит, цик­лическая тогда и только тогда, когда узел в трехмерном про­странстве изотопен окружности. В доказательстве этой леммы имелась ошибка, отмеченная в письме Кнезера Дэну от 22 апре­ля 1929 г. Тем не менее лемма верна и была доказана Пана- кирьякопулосом в 1957 г., через пять лет после смерти Дэна. Но все это не умаляет важности статьи Дэна для развития комбинаторной теории групп. Мы заговорили об этом здесь только потому, что асферичность узлов упоминается Дэном во введении ко второй статье. Даже без леммы Дэна ясно, что узел не может быть изотопен окружности в трехмерном про­странстве, если группа узла неабелева.

Важность работы Дэна для комбинаторной теории групп основана отчасти на его открытии, что задание группы узла может быть извлечено из проекции этого узла на евклидову плоскость при условии, что эта проекция достаточно регулярна. С каждой из конечного числа областей, на которые проекция разбивает плоскость, Дэн связал порождающий элемент группы, а с каждой из конечного числа двойных точек проекции (кото­рые должны разделяться на точки верхнего и нижнего пересе­чения) он связал определяющее соотношение. Его определяю­щие соотношения включают три или четыре порождающих или обратных к ним. Метод Дэна применим и при изучении зацеп­лений, т. е. вложений нескольких замкнутых кривых в трех­мерное пространство. Таким образом, с каждым узлом ассо­циируется характеризующая его группа с легко вычисляемым заданием, а начиная с работы Листинга [1848] узлы составляли интенсивно изучаемый класс топологических объектов. Ясно, что это открытие стимулировало работу Дэна. Но стоит отметить, что он был не единственным и даже не первым математиком, сделавшим это открытие. Виртингер в докладе [1905], прочи­танном на заседании Немецкого математического общества (Deutsche Mathematiker-Vereinigung), объяснил, каким образом алгебраические особенности аналитической функции двух ком­плексных переменных задают некоторые топологические струк­туры. Именно, рассматривая пересечение соответствующей ал­гебраической поверхности (двумерное вещественное многообра­зие, вложенное в четырехмерное вещественное пространство) с достаточно малой гиперсферой, центр которой совпадает с осо­бенностью поверхности, можно получить систему заузленных или сцепленных кривых. Помимо этого Виртингср дал метод определения фундаментальной группы узла и показал, как ее можно найти, исходя из проекции этого узла на евклидову плоскость. Метод Виртингера отличается от метода Дэна, по­скольку в нем с порождающими группы связывались ориенти­рованные сегменты проекции узла, но столь же прост. Факти­чески более поздние авторы монографий по теории узлов, на­пример Рейдемейстер в [1932а] (ссылающийся на тот же доклад Виртингера [1905], что и мы), предпочитали именно его. Нужно сказать, что Виртингер никогда не публиковал своих результатов и идей. Мы знаем о них из опубликованной много позднее статьи одного из его учеников, Браунера [1928]. Но хотя сообщение о докладе Виртингера состояло всего из одной строчки, его содержание, по-видимому, стало широко известно. В частности, Титце в [1908, с. 96, 105], рассматривая тот же узел (трилистник, или клеверный лист), что и Дэн, приводит задание его группы и несколькими строками ниже цитирует доклад Виртингера. Мы не располагаем сведениями о том, что Дэн был знаком с идеями Виртингера, но зная о большой важ­ности в то время алгебраической геометрии, можно предполо­жить, что открытие Виртингера послужило мощным стимулом в исследованиях по группам узлов. Однако именно Дэн развил теоретико-групповые методы для топологических целей. Они получили два замечательных применения.

В своей первой работе Дэн построил бесконечное семейство- «пространств Пуанкаре», т. е. замкнутых трехмерных многооб­разий с совершенной нетривиальной фундаментальной группой. Он смог явно выписать задания для таких групп, строя свои пространства путем склеивания поверхностей заузленного и не- заузленного торов. Фундаментальной группой оказывается фак­торгруппа группы узла, соответствующей заузленному тору. Расположить его так, чтобы фундаментальная группа простран­ства совпадала со своим коммутантом, нетрудно. Трудность со­стоит в доказательстве нетривиальности этой группы. В дей­ствительности это составляет часть проблемы распознавания равенства. Дэн не только показал, что построенные им фунда­ментальные группы нетривиальны, но также установил, что все они, за одним исключением (группы, найденной Пуанкаре в [1904]), бесконечны. С этой целью Дэн развил теоретико-гра­фовый метод, который мы разберем в следующей главе.

Вторая важная проблема, решенная с применением теории групп Дэном в [1914], была поставлена Титце в [1908, с. 97]. Дэн доказал, что трилистник (клеверный лист) нельзя, непре­рывно деформируя без самопересечений, перевести в собственное' зеркальное отражение. Его доказательство основывалось на по- построении группы автоморфизмов для группы узла. (Уже Титце осознавал, см. [1908, с. 90], что топологические преобразования^ пространства индуцируют автоморфизмы фундаментальной группы.) Это, вероятно, самая замечательная работа Дэна, не­смотря на то что уже его диссертация j 1901J содержала ре­шение третьей из 23 проблем, поставленных Гильбертом на Международном математическом конгрессе в 1900 г. в Париже.

Дэн заметил в [1911], что конечно заданные группы могут иметь подгруппы, не имеющие конечного задания. В качестве примера он указал подгруппу, порожденную всеми сопряжен­ными с Si элементами в свободной группе с образующими Si, S2.

В той же работе Дэн решил проблемы распознавания изо­морфизма и сопряженности для групп, заданных системами со­отношений, в которых каждый порождающий встречается не более двух раз. Термин свободный порождающий (означающий порождающий, не входящий ни в одно определяющее соотно­шение) впервые встречается в этой работе. Доказательства осно­ваны на рассуждениях, взятых из теории дискретных групп движении неевклидовой плоскости и из топологии. В конечном итоге рассматриваемые группы возникают как фундаменталь­ные группы двумерных многообразий с особенностями.

В работе [1912) Дэн еще раз вернулся к проблемам распо­знавания равенства и сопряженности для фундаментальных групп ориентируемых двумерных многообразий. Рассмотрен­ные им группы задавались порождающими а_{, Ь_{, / = 1, g,

и одним определяющим соотношением R = 1, где

R — а\Ь\0\ Ь\ ajb’jP'i 62 • • • Qgbfflg ^g •

В [1912] Дэн доказал следующую теорему:

Пусть g > 1 и W — несократимое слово от порождающих ■a_it bi. Если W = 1, то существует подслово Wo слова W, имею­щее длину не менее 2g -f- 1, которое входит в качестве подслова в циклическую перестановку одного из слов R, /?^-1.

Эта теорема, очевидно, решает проблему распознавания ра­венства в группах Ф¹приg >• L (При g— 1 теорема неверна, •но в этом случае разрешимость проблемы распознавания ра­венства почти очевидна.) Дело тут, однако, не в решении этой •проблемы в конкретном классе групп. Она уже была решена Дэном более громоздким способом в его статье ,[1911]. Там использовалась неевклидова геометрия и то, что группы Ф* можно рассматривать как дискретные группы движений неев­клидовой плоскости с фундаментальной областью, являющейся правильным 4^-угольником. Важно, что Дэн нашел алгебраи­ческое решение проблемы распознавания равенства (хотя соот­ветствующее доказательство было не алгебраическим). Это ре­шение имеет следующие алгебраические особенности.

Возьмем слово W в алфавите порождающих. Произведем в нем свободные сокращения. Если W = 1 в группе, то в W входит подслово Wo, такое, что оно входит также в циклическую перестановку некоторого несократимого определяющего слова ^]) или обратного к нему слова и число символов (порождающих и обратных к ним) в нем превосходит половину числа символов в несократимом определяющем слове. Заменим в W подслово W₀ словом, обратным к оставшейся части упомянутого опреде­ляющего слова (или обратного к нему). Это даст более корот­кое слово W'. Сократим W' и поступим с полученным словом точно так же и т. д. Мы получим в конце концов пустое слово в том н только том случае, когда W = 1.

Описанная процедура сейчас носит название алгоритма Дэна для распознавания равенства группе Ф₈. Этот термин был введен в обращение Магнусом и впервые появился в названии диссертации Гриндлингера [1960а]. В ней показано, что алго­ритм Дэна применим в широком классе конечно заданных групп; доказательства и результаты Гриндлингера чисто алгеб­раические. Теорема Дэна является их весьма частным случаем.

В действительности Дэн в [1912] получил результат, более сильный, чем процитированный выше (по содержанию, но не но форме совпадающий с теоремой на с. 415 этой работы). Кроме того, Дэн в [1912] дает относительно простое чисто ал­гебраическое решение проблемы распознавания сопряженности в группах Фц. В своей предыдущей статье [1911] он решал эту проблему с использованием неевклидовой геометрии, выражая решение в геометрических терминах. И в этом случае резуль­таты Дэна были значительно обобщены и получили чисто ал­гебраическое доказательство в работе Гриндлингера [1960Ь]. Вслед за этой работой Гриндлингера появился ряд других, от­носящихся к алгоритму Дэна, но мы не будем их здесь рас­сматривать. Остановимся, однако, еще раз на доказательствах Дэна. Они не алгебраичны. Дэн, в сущности, использовал гра­фовый метод, о котором пойдет речь в следующей главе.