Глава 1.4 побудительные мотивы: фундаментальные группы топологических пространств

В большой работе «Analysis Situs» [1895] Пуанкаре ввел- понятие фундаментальной группы топологического простран­ства. Он начинает с эвристического введения, где рассматри­вает функции Fi (/=1, 2, ..., ?„) (не обязательно однознач­ные) на многообразии, заданные уравнениями в координатах х_к (к = \, ..., п), и предполагает, что эти функции удовлетворяют дифференциальным уравнениям

dFt = Xt. i dx^ + ... + Xi, _n dx_n,

где X_iik — заданные однозначные дифференцируемые функции от х_к и Fi, удовлетворяющие некоторым условиям интегрируе­мости. Затем Пуанкаре изучает преобразования функций F_if осуществляющиеся в результате их продолжения вдоль замкну­той петли. Эти преобразования образуют группу g, и Пуанкаре показывает, или по крайней мере сознает, что все такие груп­пы g являются гомоморфными образами одной группы G — фундаментальной группы.

Пуанкаре ожидал от теории групп помощи для топологии, «го ожидания оправдались — он показал, что фундаментальная группа действительно определяет топологические инварианты пространства, найденные Бетти. Ему удалось также доказать, что трактовка фундаментальной группы как характеристики то­пологического пространства ведет к более тонкой классифика­ции таких пространств, чем та, что была возможна раньше. Наи­более замечательным достижением Пуанкаре в этом направле­нии было построение трехмерного пространства, у которого число Бетти и коэффициенты кручения (введенные Пуанкаре в ) были теми же, что у замкнутого трехмерного сфериче­ского пространства, а фундаментальной группой Г являлась не­которая совершенная группа, среди факторгрупп которой имеется группа икосаэдра (т. с. v4s). Этот результат содержится в статье Пуанкаре [1904, с. 729—732, т. I Избранных трудов] '). В самом конце этой работы Пуанкаре ставит вопрос, известный теперь как «гипотеза Пуанкаре»:

«Может ли получиться, что фундаментальная группа пространства V со­стоит только из тождественного преобразования, а V неодносвязно?»

Эта проблема до сих пор (1980 г.) открыта. Но сейчас ее можно по крайней мере сформулировать в чисто алгебраических (по существу, теоретико-групповых) терминах; см. Бирман , где имеются также другие ее алгебраические варианты. См. также Линдон и Шупп [1977, с. 266].

По ряду причин топологические работы Пуанкаре трудно читать. Одна из этих причин чисто техническая: он использует и для абелевых, и для неабелевых групп символ сложения в качестве операции, свободно переходя от одного случая к дру­гому. Однако основная трудность проистекает из того, что ме­тоды, которые Пуанкаре использует для построения топологи­ческих пространств, являются интуитивными обобщениями идей и результатов, относящихся к теории фуксовых групп, римано- вых поверхностей и дифференциальных уравнений. При этом он даже не пытается отделить интуицию от доказательства и уточнить свои предположения. Из конструкции пространства с совершенной фундаментальной группой ясно, что эта группа имеет конечное задание. Но, за исключением этого примера, трудно сказать, что Пуанкаре где-нибудь использует теоретико­групповые методы существенным образом. Это замечание ил­люстрируется тем обстоятельством, что он не замечает, что его инварианты кручения пространства (в дополнение к числу Бст- ^*) ти) в действительности вычисляются просто факторизацией фундаментальной группы по коммутанту. Этот результат был получен Титце в статье [1908] объемом 118 с. Она в отличие от статьи Пуанкаре важна не содержащимися в ней новыми идеями, а тщательным анализом основных предположений и методов, серьезной попыткой отделить подлинные доказатель­ства от интуитивных соображений и, наконец, свбими теорети­ко-групповыми результатами.

Титце начинает с определения многообразия произвольной конечной размерности посредством клеточных комплексов, ко­торые он также называет Schemata (схемы). Титце упоминает различные источники такой конструкции, определяющей много­образие (в действительности — пространство) с помощью конеч­ного объема информации. Среди этих источников — статьи Дика, Пуанкаре (работу которого Титце отмечает как основу для всей своей статьи) и неопубликованные лекции Виртингера. Но в ра­боте [1908] Титце говорит также, что систематическое развитие используемой им конструкции согласуется с имеющимся в по­явившейся на год раньше работе Дэна и Хегора [1907].

В разд. 12 статьи [1908] Титце использует свою конструк­цию для введения фундаментальной группы многообразия и показывает, что эта группа имеет конечное задание. В разд. 13 доказывается топологическая инвариантность фундаментальной группы. Другими словами, Титце доказывает, что две гомсо- морфные «схемы» имеют изоморфные фундаментальные груп­пы. Для этих целей ему нужен чисто теоретико-групповой ре­зультат, который доказан им в разд. 11 и который до сих пор связан с его именем. Это теорема о том, что любые два конеч­ных задания произвольной группы могут быть переведены одно в другое применением конечного числа некоторых обратимых преобразований (так называемых «преобразований Титце») из заданного конечного набора.