Глава 1.6 требует в какой-то мере больших предваритель­ных знаний, чем другие главы. Наоборот, для гл. 1.7, где мы даем обзор состояния дел к концу рассматриваемого периода, таких знаний не требуется.

В гл. 1.8 речь идет не о математике как таковой, а об об­становке, в которой протекали математические исследования в течение периода, охватываемого первой частью. Библиогра­фические замечания, составляющие гл. 1.9, — это в основном ссылки на некрологи.

Глава I. 10 посвящена терминологии. Она преследует двоя­кую цель. Содержащийся в ней список устаревших терминов должен облегчить современному читателю восприятие ориги­нальных работ, написанных до 1918 г. С другой стороны, при­веденные в этой главе определения 22 современных понятий будут полезны читателю, не знакомому с основами комбина­торной теории групп. В гл. I. 10 включен также небольшой перечень стандартных обозначений.

И наконец, в гл. 1.11 коротко описываются использованные нами источники. Мы пытались привлечь все существенные ра­боты, опубликованные до 1918 г. Вероятно, мы что-то пропус­тили, хотя некоторые пробелы могли возникнуть из-за нашего понимания слова «существенный», а не по недосмотру. Наде­емся, что эти пробелы не столь значительны.

Большинство цитат из оригинальных статей на иностранных языках переведены. Нам кажется, что в математике опасность искажения при переводе крайне мала.

Глава 1.2 основание теории: теоретико-групповые исследования дика

Описание группы посредством ее задания, т. е. системы по­рождающих и определяющих соотношений, является специфи­ческим способом абстрактного описания группы. Именно с этой точки зрения задание группы рассматривается в разд. 4 гл. 3 обширного исследования Вуссинга [1969], посвященного исто­кам понятия абстрактной группы.

Статья Дика [1882], несомненно, содержит решающий шаг в определении группы посредством ее задания. Мы не будем пытаться проанализировать вопрос том, какие из идей или понятий из работы Дика встречались еще до него. Вместо это­го мы сформулируем некоторые из его результатов, безусловно новые и важные, несмотря на уязвимость их доказательств.

Во введении к своей статье [1882] Дик упоминает теорию автоморфных функций и цитирует работы Шварца, Клейна, Фукса, Пуанкаре и Шоттки. В этих работах группы возникали как дискретные (в сегодняшнем смысле) группы геометрических преобразований. При этом элементы групп имели наглядное представление в виде экземпляров фундаментальной области. Затем Дик говорит о том, что геометрическая трактовка групп приводит к односторонности (Einseitigkeit), которая однажды послужила причиной ошибки в одной из его ранних работ. Вве­дение завершается следующей формулировкой цели статьи:

«Дальнейшее изучение существующих теоретико-групповых проблем тре­бует замены всякого геометрического описания аналитическим (комбинатор­ным). Тем не менее исходная геометрическая интерпретация послужила ис­точником некоторых подходов. Задачей настоящей работы является развитие как геометрического выражения, так и аналитического содержания этих под­ходов».

Первый раздел статьи Дика озаглавлен так: «Описание группы G как отправная точка исследования». Приведем это описание:

«Пусть А_и А₂, .... А_т — это т произвольных операций, которые могут применяться к некоторому (единичному) объекту /. Этот объект мы всюду в дальнейшем будем обозначать 1. Тогда Ai можно рассматривать как поро­ждающие операции некоторой группы. Эта группа получается применением к нашему объекту / всех операций в произвольном числе и в произвольных комбинациях.

Наиболее общая группа с т порождающими операциями получается, если предположить, что At ие имеют периодов п к тому же ие связаны между со­бой никакими соотношениями. Мы также будем рассматривать операции, про­тивоположные к A_t, и обозначать их, как это обычно делается, через A J^-1 Таким образом, мы получаем бесконечное множество преобразований, при­надлежащих нашей группе G, применяя сначала операции Л,, /4 J”А_ъ

А^\ ..., А_т, А ~¹ к единице, затем снова применяя те же операции к получен­ным уже преобразованиям н так далее. Поскольку мы не предполагаем ни­каких соотношений между порождающими операциями, все полученные та­ким образом преобразования будут различаться между собой и каждое из них может быть получено из порождающих преобразований с помощью толь­ко одного вполне определенного процесса. Это обстоятельство выражается формулой

... А]'А?

В статье Дика ничего не говорится о значениях, которые могут принимать показатели v, р., но дальнейшие замечания показывают, что случай, когда перед или после Ai идет Л Г¹» исключается.

Затем Дик использует искусственный прием для того, чтобы избежать необходимости использования обратных операций. Для этого он вводит дополнительный порождающий элемент Ля и постулирует равенство

Л1Л₂Л₃ ... A_mA_n = 1 = А_пА_тА_т~| ... Л₂Л|.

Следующий раздел он посвящает тому, что в статье названо «геометрической конкретизацией (Versinnlichung) группы G». Здесь он существенно опирается на теорию фуксовых групп. Он строит (т + 1)-угольник Р, стороны которого являются дугами окружностей, ортогональными к заданной окружности /С, а вер­шины лежат на К. Эти вершины обозначаются символами aj, 02» ...» a_m, а_п. Отразим теперь многоугольник Р относи­тельно всех его сторон, затем отразим все его образы относи­тельно всех их сторон и т. д. В результате получится покрытие круга с границей К образами многоугольника Р. Пусть Р за­крашен, закрасим также все его образы, получаемые из него за четное число шагов. Рассмотрим теперь все отображения рассматриваемого покрытия в себя, при котором закрашенные области переходят в закрашенные. В рассматриваемом случае все такие отображения могут быть получены с помощью мёбиу- совых преобразований рассматриваемого круга. Каждое ото­бражение однозначно задается образом Р. Такие отображения образуют группу, изоморфную абстрактной группе G, построен­ной в предыдущем разделе статьи Дика. Доказательство осно­вывается на соображении, очень близком к использованию гра­фа группы (который, действительно, прямо получается из по­крытия Дика). Цитируем: «Расположение многоугольников в нашей сети таково, что, начиная с многоугольника Р и применяя операция А,, А_г, .... А_т, А_п только положи­тельным образом, мы можем достичь любого другого закрашенного много­угольника, причем достичь только по одному пути — не учитывая вставки путей А[А₂... А_тА_п, /4*4$... А_ПА, и т. п., сводящихся к единичному».

В четвертом разделе статьи Дика изучается связь между рас­сматриваемой группой G с порождающими А\, Л₂, ..., А_т и про­извольной группой G с порождающими Ai, А₂, ...» A_m. Он начи­нает с предположения о том, что элемент

F(A_lt Ао, AJ^F

переходит в единичный элемент при замене всех Ai на А/, и заме­чает, что F и все сопряженные с ним элементы порождают под­группу Н, которая коммутирует со всеми элементами группы G и тем самым по терминологии Софуса Ли является «выделен­ной». Эта подгруппа Н состоит в точности из тех элементов груп­пы G, которые становятся равными 1 при замене At на А,-. В этом месте Дик забывает о сопряженных к F~~^l. Этот недосмотр можно объяснить тем, что он до этого ввел конструкцию, позволяющую избегать обратных элементов. Затем Дик анализирует группу, которая получается из G, если предположить, что на ее поро­ждающие наложено произвольное число соотношений. В сле­дующем разделе он обобщает эту ситуацию и, если говорить со­временным языком, устанавливает, что добавление соотношения между порождающими группы G приводит к факторгруппе этой группы. Наконец, Дик приводит геометрическую интерпретацию своего построения факторгруппы. При этом фундаментальная об­ласть для факторгруппы в покрытии, соответствующем группе, строится с помощью представителей смежных классов по нор­мальной подгруппе.

Переработанное изложение результатов Дика содержится в книге Бернсайда [1897а] (или [1911]). Статья Дика [1882] упоминается даже в предисловии к этой важной книге. В общем эта статья в течение последующих десятилетий была одной из наиболее цитируемых теоретико-групповых работ. Ее важность впоследствии отмечалась также Миллером в исторической статье [1935]. Об этой важности говорится и в работе Лёви [1910] по «алгебраической теории групп», где содержится весь­ма современный и тщательно написанный обзор того, что было тогда известно в теории групп, исключая группы Ли.

Статьи Дика [1882] и [1883] содержат много больше, чем основы теории заданий групп. В частности, работа [1883] важ­на для теории групп подстановок. Но все же наиболее замет­ным ее последствием, вероятно, является то, что после этой работы описание групп посредством задания стало общеприня­тым. Во многих случаях задание используется как сжатый спо­соб описать группу и ограниченное число ее свойств; в частно­сти, неразрешимость группы часто может быть непосредственно видна из ее задания. Вероятно, именно по этим причинам вскоре после 1882 г. даже для конечных групп, которые могут быть описаны посредством подстановок или матриц, были найдены задания. Например, Дик в работе (1883] приводит задания для простых групп порядка 60 и 168. Бернсайд в [1899] и Фрике в [1899] делают то же самое для простой группы порядка 504, а в работе Бернсайда [1897b] содержатся задания для всех симметрических групп. О более поздних исследованиях, где за­дания конечных групп использовались более существенно, мож­но прочитать в монографии Коксетера и Мозера [1972]. Ко­нечно, задания играют действительно важную роль именно в теории бесконечных групп. Об этой роли будет идти речь в последующих главах настоящей книги. Теперь же мы попы­таемся указать место двух основных результатов работы Дика [1882] в исторической перспективе. Используя сегодняшнюю (1980 г.) терминологию, их можно сформулировать следующим образом.

Предложение 1. Существует такая группа Gem порождаю­щими А\, Л₂, Ащ, что всякий ее элемент может быть ровно одним способом представлен в виде

А^е'А\...А? или 1, (1)

*1 *2 */

где t'i, *₂ *7е{1, 2, m}, i» Ф ы-ь v = 1, —, /— 1, и

е\, е₂, ...» e_t — ненулевые целые числа.

Предложение 2. Всякая группа G с m порождающими ЛI, Д₂, •••> Ат является гомоморфным образом группы G. Про­извольная группа G может быть получена выбором подходящего множества выражений вида (1), которые мы обозначим через Fi, F2, ..., F_r, и постулированием равенств

F,&. Л₂, .... Л_т)=1 (Р = 1, 2, ..., г). (2)

Ядро отображения G^G, Л_д-»-Д_д (р = 1, 2, ..., ш) в этом случае состоит из всевозможных произведений элементов вида

t<=g,

где в F_p мы заменили Д_д на Л_д.

Могут сказать, что доказательства, данные Диком для этих теорем, не вполне строги, хотя и убедительны. В частности, его геометрическая интерпретация предложения 1 интуитивно ясна, но не удовлетворяет сегодняшним требованиям строгости. Само это предложение принималось как самоочевидное, напри­мер, Бернсайдом (см. Бернсайд [1911, с. 373]). Действительно, это предложение выглядит довольно правдоподобно, однако его чисто арифметическое доказательство не совсем тривиально. Особенно элегантное доказательство, использующее перестанов­ки, дано Шрейером в [1927а], [1927Ь]. Интересно отметить, что это предложение совершенно не используется в изложении тео­рии задания групп у де Сегье [1904], где в то же время содер­жатся интересные применения этой теории.

Мы мало что знаем о де Сегье, помимо того, что, согласно Вуссингу [1969], он был ученым-любителем, не имеющим ни­какого ученого звания, — это довольно необычно для работаю­щего математика, особенно европейского. Его основным трудом является двухтомная монография по теории групп, первый том которой вышел в 1904 г., а второй —в 1912 г. Существенная часть материала этих томов принадлежит самому автору. Стиль де Сегье резко отличается от стиля Дика. В работе де Сегье отсутствуют какие-либо интуитивные соображения (в том числе и геометрические). Ей присуща тенденция к максимально воз­можной абстрактности и общности, но при этом общие теоремы снабжаются многочисленными примерами и рассмотрением частных случаев. Де Сегье, возможно, был первым алгебраи­стом, обратившим внимание на открытие Кантором несчетных мощностей. Его стиль более сжат, чем у Дика или Бернсайда. Быть может, именно по этой причине книги де Сегье имели меньшее влияние, чем книга Бернсайда, несмотря на огромный объем содержащегося в них материала.

Здесь мы коснемся только первого тома монографии де Сегье, вышедшего в 1904 г. Он начинается с введения в теорию мно­жеств, следующего Кантору [1895], затем определяется понятие полугруппы с двусторонним сокращением. Именно это понятие де Сегье назвал «полугруппой» и тем самым впервые ввел в обращение этот термин (на с. 8 своей книги). Затем (на с. 15— 16) он определяет порождающие группы л*, а₂, ... и отмечает, что их число не обязательно счетно. Он ставит себе следующую задачу:

«Найти общую форму соотношений, являющихся следствиями заданной системы S соотношений между порождающими а_и а₂, ... (зависимыми или нет), если S определяет группу. В этом случае aj' имеет смысл... . Пусть S задана в виде Л = I, F₂ = I, ..., причем а^¹ может входить в соотно­шения*.

Он утверждает:

«Тогда всякое следствие системы соотношений S может быть приведено к стандартному виду

Y[V'^lF^±lV=\

V, F

посредством тождественных преобразований (это означает, что между фор­мально различными произведениями не предполагается никаких соотноше­ний, кроме а_[а₁ ¹ = af a_i = l).»

Чуть дальше (на с. 17) де Сегье использует порождающие и определяющие соотношения для построения групп G, содер­жащих нормальную подгруппу А с факторгруппой G/A = В, таких, что А и В заданы порождающими и определяющими соотношениями. Использование этих понятий пронизывает всю книгу.

Мы видим, что де Сегье, как и Дик, широко использовал предложение 2, причем доказательство де Сегье более непосред­ственно и современно, чем у Дика. Это частично объясняется тем, что за прошедшие между публикациями Дика и де Сегье 22 года стало вполне ясным и начало повсеместно применяться понятие гомоморфизма. Однако предложение 1 вовсе не возни­кает при подходе де Сегье. Он ввел понятие полугруппы и по­этому не придавал особого значения свободным группам. Его точка зрения (хотя и не сформулированная во всех деталях), в сущности, совпадала с той, которую Дэн излагал в лекциях и обсуждениях: группа возникает из множества объединенных в пары а_р аг^] символов путем образования слов с заданной на словах операцией приписывания, которая очевидным образом ассоциативна. Классы эквивалентности слов по отношению к некоторым правилам, задающим обратимые преобразования слов, и являются элементами группы. В этой ситуации свобод­ные группы соответствуют частному случаю, когда правила пре­образования утверждают существование обратного для каж­дого элемента группы. Тот факт, что всякое отображение мно­жества свободных порождающих а, (без ау¹) на некоторое множество элементов произвольной группы G задает гомомор­физм свободной группы в группу G_y становится совершенно очевидным. Утверждение, которое мы называем предложением 1, у Дэна называется решением проблемы равенства для свобод­ных групп. Эта точка зрения сохранялась в большей части ли­тературы. Задания групп вводились через факторгруппы сво­бодных групп. Такая процедура давала небольшие технические преимущества, но, конечно, как отмечал Дэн в своих лекциях, не существует логического различия между понятиями свобод­ной группы и произвольной группы, определенной своим зада­нием. Тем не менее все же остается нечто, что так или иначе нужно доказывать. Замечательно, что вплоть до 1926 г. не су­ществовало алгебраического доказательства предложения 1 и впоследствии такие доказательства появились только как част­ные случаи доказательств теорем о свободных произведениях групп. Такой ход развития резко отличается от развития алгеб­раического подхода к общему понятию группы и, в частности, понятию конечной группы. Книга Вуссинга [1969] содержит подробный обзор большого количества статей, посвященных аксиоматической и алгебраической концепциям групп и опуб­ликованных до 1919 г. Большое число учебников по алгебре, и в особенности по теории групп, содержит тщательный анализ- однопорожденных (т. е. циклических) групп. Но первым учеб­ником по теории групп, дающим явное алгебраическое обосно­вание решения проблемы распознавания равенства в свободных группах, является книга А. Г. Куроша [1944] (на русском язы­ке). По-английски первое доказательство для этой проблемы в учебной литературе появилось в книге Цассенхауза [1958], и даже там оно оказалось частным случаем решения проблемы распознавания равенства в произведениях и к тому же названо теорехмой существования. По-видимому, первое комбинаторное (в смысле Дэна) доказательство, попавшее в учебник, содер­жится в книге Магнуса, Карраса и Солитэра [1966]. В этих доказательствах проявляется разница между двумя понятиями свободной группы. Доказательство существования начинается с нормальной формы (1) для элементов свободной группы и за­тем устанавливает, что приписывание с последующей редукцией задает ассоциативную операцию на таких элементах. Комбина­торное доказательство использует полугруппу слов и затем по­казывает, что нормальная форма (т. е. редуцированный эле­мент произвольного класса эквивалентности слов) нс зависит от порядка проведения редукций. Тот и другой подходы были использованы Артином — один в [1926], другой — в [1947а] соответственно, в более общем контексте существования свобод­ных произведений и для решения проблемы распознавания ра­венства в свободных произведениях. До 1926 г. содержание предложения 1 принималось как очевидное, вероятно исходя из существующих нс вполне явных геометрических доказательств. Природа этих доказательств будет выявлена в последующих главах.