Глава I. 3 начало: теория дискретных групп

Даже если не принимать во внимание свидетельства самого Дика, совершенно ясно, что теория дискретных групп послу­жила основой для его теоретико-групповых исследований в [1882]. Дик был студентом Ф. Клейна и в 1882 г. работал его ассистентом в Лейпцигском университете. Вскоре вслед за пуб­ликацией Дика появились две важные работы по теории дис­кретных групп, принадлежавшие двум ведущим математикам, работавшим в то время в этой области. Первой из них была большая (61 с.) статья А. Пуанкаре [1882] по фуксовым груп­пам. Во введении к ней Пуанкаре пишет, что он уже публико­вал ранее наброски своих идей и результаты, но хотел бы по­пытаться теперь систематически изложить всю теорию. Почти одновременно появилась большая (78 с.) статья Клейна [1883], которая особенно важна для теории заданий групп, так как со­держит то, что теперь известно как клейнова теория «компози­ции групп». Этот термин был фактически введен Фрике и Клей­ном в [1897, с. 190—194]. В [1883] Клейн использовал слово Ineinandcrschiebung (сцепление) (с. 200). Композиция групп может применяться для решения проблемы распознавания ра­венства для свободных произведений групп, которые действуют на точках топологического пространства. Простейший пример, описанный Фрике и Клейном, таков. Рассмотрим четыре нспе- ресекающихся диска D_v D\> D_v D'₂ в комплексной плоскости. Через Е обозначим оставшуюся часть плоскости, через А\_у Л₂ — два преобразования Мёбиуса (т. е. дробно-линейные преобра­зования комплексной плоскости), такие, что Лi отображает внешность D1 на внешность D', а Л₂ отображает внешность 0₂ на внешность D\. Тогда при а\ eZ (а* =^0) преобразование Л°' отображает Е во внешность D_{ или D\. Поскольку и О,, и D\ лежат вне D₂ и D'_v отображение

AT At' (Я|, р, # 0)

переводит Е во внешность D₂ или О'. Повторение этого рас­суждения показывает, что всякое отображение вида

Л^в,'Л$Л№ ■ ■ ■ А“^тА%^,п

с отличными от нуля целыми а а_т, р_t, ..., р_т отображает Е на множество точек, не пересекающееся с £, и, следова­тельно, не может быть тождественным преобразованием. Это доказывает существование «наиболее общей» группы с двумя порождающими в смысле Дика [1882] простым, но не алгеб­раическим способом. Приведенное рассуждение легко можно обобщить на случай свободного произведения счетного числа циклических групп. Это было сделано более или менее явно Фрике и Клейном в [1897]. Такие группы в дальнейшем также возникали как дискретные группы преобразований Мёбиуса комплексной плоскости. Принадлежащая Клейну конструкция композиции была развита и обобщена в последние годы для получения новых теоретико-групповых результатов, см., например, Маскит [1965] и Линдон и Ульман [1969].

Истоки теории дискретных групп, даже если ограничиться только группами мёбиусовых преобразований, весьма многооб­разны. Эти группы играют важную роль в качестве инструмента, используемого в теории таких объектов и конструкций, как ал­гебраические функции одного комплексного переменного (т. е. в теории римановых поверхностей), униформизация, автоморф- ные функции, в алгебраической теории квадратичных форм, теории алгебраических расширений с заданной группой Галуа (теории уравнений пятой степени) и в теории однородных линей­ных дифференциальных уравнений (таких, как гипергеометриче­ское уравнение). К этим группам приводят также геометрические идеи, лежащие в основе неевклидовой геометрии, включая и дифференциальную геометрию. Однако мы ограничимся связью между теорией дискретных групп и теорией заданий групп. С одной стороны, в литературе до 1914 г. появилось большое число заданий дискретных групп, например у Фрике и Клейна в [1897]. (По поводу обзора этих результатов см. Магнус [1974а].) С другой стороны, эти задания не так уж часто используются и их можно считать скорее удобным способом опи­сания групп, чем средством исследования их свойств. В част­ности, нигде не было сделано попытки систематического по­строения заданий подгрупп — даже нормальных подгрупп конеч­ного индекса, исходя из заданий всей группы. И это несмотря на то, что подгруппы некоторых дискретных групп, например подгруппы эллиптической модулярной группы PSL(2, Z), пред­ставляют значительный интерес. (Мы коснемся некоторых ра­бот, где исследуются подгруппы, в гл. 1.6.)

Причины, по которым теория дискретных групп в начале своего развития не стимулировала развитие теории заданий групп, ясны. Дискретные группы исходно определяются не с помощью заданий. Обычно их вводят, указывая множество по­рождающих элементов, описывающих конформные преобразова­ния комплексной плоскости, переводящие некоторую окружность в себя, или являющихся матрицами размера 2X2, удовлетво­ряющими каким-либо арифметическим условиям (например, элементы матриц должны быть целыми алгебраическими чис­лами данного поля, для которых выполнены некоторые соотно­шения). Мы будем называть эти две ситуации геометрической и алгебраической соответственно. Простейший пример геометри­ческой ситуации — это обсуждавшаяся выше композиционная конструкция Клейна. Простейший пример алгебраической си­туации появляется опять-таки в связи с PSL(2, Z).

И в том, и в другом случае задание группы получается из построения фундаментальной области для этой группы, причем оно получается относительно легко, если эта фундаментальная область двумерна, т. е. лежит в комплексной плоскости. В гео­метрическом случае основная проблема состоит в отыскании по­рождающих отображений с данной фундаментальной областью и соответствиями между дугами ее границы, отвечающими дей­ствию порождающих. Это более или менее сложная геометри­ческая задача, для решения которой не требуется теоретико­групповых средств. В арифметическом случае прежде всего нужно найти множество порождающих. Это обычно бывает не­тривиально, а иногда и очень сложно, как, например, в случаях, изученных Фрике и Клейном в [1897, ч. 3J или Бьянки в статье [1892], которая будет более подробно рассмотрена в гл. 1.6. В этих работах используются геометрические, алгебраические и смешанные методы. Так же сложно и строить фундаментальную область. Когда построение завершено, определяющие соотно­шения для группы найти относительно легко, если область дву­мерна (при размерности три и выше задача становится суще­ственно более сложной). До 1914 г. было опубликовано несколько статей, которые позднее оказались важными для комбинатор­ной теории групп. Их мы коснемся в гл. 1.6. Однако изучае­мые в этих статьях вопросы не стимулировали и, разумеется, не могли стимулировать исследований в указанном направлении. В теории дискретных групп есть только одна широко обсуж­давшаяся в литературе до 1914 г. задача, для которой развитие методов комбинаторной теории групп одновременно было бы по­лезным и вытекало бы из существа проблемы. Это задача оты­скания всех подгрупп или по крайней мере всех нормальных подгрупп конечного индекса по конечному заданию группы, а также дополнительная задача получения информации о возни­кающих факторгруппах. Впервые с абстрактной и общей точки зрения эта задача была рассмотрена Рейдемейстером в [1926]. Его работа называлась «Узлы и группы». Топологическая тема­тика не является здесь случайностью. Основания для суще­ственного развития комбинаторной теории групп появились в- топологии задолго до Рсйдемейстера. О них мы подробнее по­говорим в следующей главе.