Операторный метод расчета переходных процессов.

Смысл операторного метода расчета – переход от дифференциальных уравнений к линейным. Если функция удовлетворяетусловию Дирихле: является непрерывной или имеет на конечном интервале времени конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов, и

,

то данная функция представима в виде:

, где-оператор Лапласа.

Интеграл имеет конечное значение в том случае, если растет не быстрее, чем:

,

где и- конечные вещественные числа, причем. Подобное преобразование функции получило названиепреобразование Лапласа.

Следующий интеграл представляет собой обратное преобразование Лапласа– переход из области изображений в область оригиналов:

Размерность переменной (т.е. тока или напряжения) в области изображений равна размерности оригинала, умноженной на секунду. Существует т.н. преобразование Карссона, для которого размерность изображения совпадает с размерностью оригинала:

.

Итак, с помощью преобразования Лапласа определим изображениефункции:

,

где L– оператор Лапласа. Рассмотрим свойства функцийи:

1. Если , то

.

2. Если и, то

.

3. Пусть , тогда

,

где - затухающая функция при, а- единичный вектор, т.е. получаем произведение затухающей функции на ограниченную, которое в пределе дает 0, поэтому

.

4. Пусть , найдем изображение функции:

Снова возникает неопределенность в верхней подстановке, т.е. при . Для того, чтобы интеграл имел конечное значение,должно расти не быстрее чем(см. начало лекции). Поэтомузатухает быстрее, чем растет. Поэтому произведение этих функций пристремится к нулю, а значит

,

таким образом,

.

В общем случае для производной n-го порядкапри ненулевых начальных условиях имеем:

.

При нулевых начальных условияхимеем:

.

5. Пусть , найдем изображение функции:

Нижняя подстановка в первом слагаемом, очевидно, = 0. Поскольку функция растет не быстрее, чем, интегралтем более будет расти не быстрее, тогда и верхняя подстановка в первом слагаемом в пределе обращается в ноль, тогда

, т.е.

,

причем это выражение справедливо как при нулевых, так и при ненулевых начальных условиях.

!ВАЖНО!В общем случае преобразование Лапласа для ненулевых начальных условий отличается от преобразования для нулевых начальных условий (см. свойство 4).

Рассмотрим конкретные примеры: найдем изображения по Лапласу токов и напряжений на реактивных элементах. Пусть , найдем изображение функции:

.

Теперь найдем изображение функции :

.

Не забываем о том, что изображением константы по Лапласу является эта константа, умноженная на р, тогда

,

эти значения получили название операторные сопротивления индуктивности и емкости соответственно.

6. Пусть , найдем изображение этой функции;

,

верхний предел обращается в ноль из тех же соображений, что и в предыдущих случаях.

7. Пусть , найдем изображение этой функции, сведя этот случай к предыдущему. Интегралбрать непосредственно мы не будем, а воспользуемся выражением комплексного синуса через экспоненты:

.

Аналогичное выражение можно получить для :

.

Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме.

1. Первый закон Кирхгофа – о сумме токов для узла или сечения:

,

аналогично и для изображений:

.

2. Второй закон Кирхгофа:

,

где индекс kв правой части уравнения подразумевает «контурная ЭДС». Для изображений имеем:

.

3. Рассмотрим законы Ома в операторной форме на примере RLC– контура.При записи законов Ома обязательно нужно задаваться положительными значениями токов и напряжений.

Выбрав для изображенного участка цепи условно-положительные направления тока и напряжения, запишем 2-й закон Кирхгофа:

,

применяя преобразование Лапласа, получаем:

.

Обратим внимание на то, что в получившемся уравнении фигурирует и первый, и второй законы коммутации. Тогда

,

где -операторное сопротивление цепи, тогда

.

Данное выражение представляет собой запись закона Ома в операторной формев общем случае. При нулевых начальных значениях

.

При ненулевых начальных условиях всегда нужно учитывать начальные значения токов и напряжений, и тогда при переходе в область изображений по Лапласу элементы цепи будут преобразовываться следующим образом (см. рисунок).

Отметим, что полярность изображений источников энергии сохраняется (см. 3 свойство). В силу закона Ома в операторной форме, активное сопротивление Rотображается само в себя, без деления наp.

При переходе в область изображений по Лапласу индуктивность и емкость заменяются активными элементами. Для индуктивности:

.

Для емкости:

.

Поэтому при ненулевых начальных условиях нужно обязательно учитывать дополнительные активные элементы.