Включение rCцепи на постоянном токе.

Вэтой задаче нам нужно будет воспользоваться 2 законом коммутации и сначала искать напряжение на конденсаторе, поскольку именно оно не меняется при коммутации. Итак, по 2 закону Кирхгофа:

, т.е. все напряжение источника будет приложено на емкость, поскольку она является разрывом цепи.

.

.

Значит, напряжение на конденсаторе имеет вид:

.

До замыкания ключа

,

цепь была разомкнута. По 2 закону коммутации:

Теперь можно найти ток, протекающий через конденсатор:

.

По второму закону коммутации, емкость сохраняет значение напряжения, т.е. в переходном процессе емкость ведет себя как источник ЭДС.

Переходные процессы при изменении параметров цепи.

Применяя тот же подход, найдем ток через индуктивность. По законам Кирхгофа составим систему из 3 дифференциальных уравнений, из них получим дифференциальное уравнение для требуемой переменной.

.

Для первого контура второй закон Кирхгофа:

Для второго контура второй закон Кирхгофа:

Выразим из последнего уравнения :

.

Подставим в уравнение уравнениес учетом преобразованного уравнения:

,

получили дифференциальное уравнение относительно :

.

теперь найдем решение полученного уравнения:

.

Чтобы определить , запишем характеристическое уравнение:

.

До коммутации

,

тогда по 1 закону коммутации:

.

Очевидно, характеристика тока через индуктивность будет убывать до какого-то определенного ненулевого значения, поскольку в цепь был включен делитель тока.

Данный метод неудобен, так как слишком громоздок. Рассмотрим более удобные методы для различных цепей.

Если рассматриваемая цепь – первого порядка (содержит один реактивный элемент), то применим следующий метод. Рассмотрим ту же цепь, что и в предыдущем примере. Исключим из нее индуктивность и источник напряжения (с учетом внутреннего сопротивления, он обратится в закоротку).

Дифференциальное уравнение в данном случае будет первого порядка (только один накопитель – индуктивность). Значит конечное выражение для тока имеет вид:

.

В классическом методе расчета основная трудность состояла в определении постоянной времени, постоянная интегрирования сравнительно просто определялась из законов коммутации. Оказывается, можно определить проще:

,

где - сопротивление цепи относительно зажимов реактивного элементов с учетом внутреннего сопротивления источников ЭДС и тока. В нашем случае:

.

Отметим, что при таком подходе нам не пришлось проделывать трудоемкое решение дифференциальных уравнений. Для емкости выражение для приобретает вид:

.

Задачи с некорректными начальными условиями.

Перед нами цепь первого порядка (после коммутации 2 последовательно соединенные индуктивности можно объединить в одну). Решаем так же, как и предыдущие задачи:

;

;

;;.

Посмотрим, что произошло в момент коммутации. После коммутации по 1 закону Кирхгофа для неразветвленного участка цепи,

,

действительно, индуктивности находятся в одной ветви, значит и ток через них протекает один и тот же. С другой стороны, до коммутации

;.

Данный тип задач называется задачей с некорректными начальными условиями.

Ток в момент коммутации меняется скачком. Запишем уравнения в несколько ином виде. По 2 закону Кирхгофа,

.

Чтобы понять, что произошло в нулевой момент времени, проинтегрируем оба уравнения в интервале от до:

;

Даже если ток изменился скачком, интеграл

,

значит

.

Последнее уравнение можно переписать в виде:

,

.

При некорректных условиях мы переходим от сохранения тока к сохранению магнитного потока. Если в условиях данной задачи ток через индуктивность не сохраняется, то должен сохраняться магнитный поток. Исходя из этой формулировки первого закона коммутации, запишем:

.

Рассмотрим, как с энергетической точки зрения происходит скачок тока.

Значение тока сразу после коммутации должно находиться между двумя начальными значениями (в нашем случае, между 0 и ), потому что при скачке тока на индуктивности будет бесконечное напряжение и, соответственно, на ней будет выделяться бесконечная мощность. Но если у одной индуктивности скачок будет отрицательным, т.е. она будетотдавать энергию в цепь, то скачок тока на второй индуктивности будет обусловлен не за счет энергии источника,а за счет энергии, которую отдаст в цепь первая индуктивность. Для емкостей будет аналогичная ситуация, только со скачком напряжения, и будет сохраняться заряд.

Чтобы обеспечить скачок тока или напряжения, источник должен обладать бесконечной мощностью, что невозможно. Поэтому и начальные условия называются некорректными.

Лекция №4