Последовательное соединение элементов.

,

тогда

,

где .

Вывод:при последовательном соединении операторные сопротивления складываются.

Параллельное соединение элементов.

Возьмем цепь, состоящую из двух параллельно соединенных элементов. Для первой ветви:

,

аналогично записываем уравнение для 2 ветви:

.

Первый закон Кирхгофа:

.

При нулевых начальных условиях:

,

где -операторная проводимость ветви.

Только при нулевых начальных условиях мы можем представить ток при параллельном соединении элементов в виде произведения напряжения на операторную проводимость.

Расчет переходных процессов операторным методом.

Разберем решение операторным методом все те же задачи, которые мы решали классическим методом.

1. RL-цепь на постоянном токе. Сначала изобразим операторную схему замещения с учетом нулевых начальных условий (см. рисунок).Тогда для операторного тока получим:

,

где , тогда

,

получили тот же самый результат, что и классическим методом, только затратив гораздо меньше усилий.

2. RС-цепь на постоянном токе. Опять считаем начальные условия нулевыми.

,

где .

3. RLС-цепь на постоянном токе.

Взависимости от корней выражения в знаменателе и решение будет иметь тот или иной вид. Возьмем «наименее приятный» случай – периодический процесс. В этом случае

,

где ;.

Ниже разговор пойдет о теореме смещения, и мы покажем, что в случае зависимости изображения не от , а оторигинал действительно будет домножаться на.

При нулевых начальных условиях расчет цепи с помощью операторного метода совпадает с комплексным методом расчета за исключением нахождения оригинала.

Переход от изображений к оригиналам.

С точки зрения математики, переход от изображений к оригиналам осуществляется с помощью следующей формулы:

.

Однако этой формулой мы пользоваться не будем.

Формулы изображений по Лапласу для экспоненты периодических функций, константы мы уже получили. Ключ моделируется с помощью единичной функции Хевисайда:

,

эта функция удовлетворяет условиям отображения функции по Лапласу и позволяет смоделировать замыкание цепи, если замыкание ключа происходит в момент времени .

Пусть замыкание происходит в момент времени , тогда функция Хевисайда будет иметь соответствующий сдвиг.

Теорема смещения.

Пусть. Рассмотрим, как будет выглядеть изображение функции, которая «включается» в момент времени. Для этого возьмем интеграл:

Включение происходит в момент времени , а до этого значение функции = 0, тогда

,

т.е. изображение по Лапласу меняется на множитель. Аналогично можно провести доказательство в обратную сторону: если, то можно показать, что

.

Рассмотрим применение теоремы на конкретном примере. Возьмем RL-цепь, на которую подается прямоугольный импульс.

С помощью единичной функции прямоугольный импульс можно выразить следующей формулой:

,

тогда

.

Тогда операторный ток будет выглядеть следующим образом:

,

где - реакция на положительный фронт,

- реакция на отрицательный фронт,

- продолжительность импульса.

Теперь нужно выполнить обратное преобразование Лапласа.

1. Положительный фронт

:

:

2. Отрицательный фронт

:

:

Вспоминая о единичной функции Хевисайда, записываем общее решение в следующем виде:

.

График соответствующей зависимости изображен на рисунке.

Лекция №6.

Пусть - дробно рациональная функция, где уравнениене имеет кратных корней и не имеет корней, совпадающих с корнями уравнения(в противном случае мы сокращаем числитель и знаменатель на общий множитель и рассматриваем новую дробь). В этом случаеможет быть представлена в виде:

,

где - корни уравнения. Докажем это: найдем. Для этого умножим правую и левую части уравнениянаи возьмем предел при:

В правой части:

.

В левой части мы из под знака предела можем вынести , поскольку среди его корней нет, тогда под знаком предела получится производная:

,

значит

.

Тогда функция имеет вид:

,

теорема разложения доказана. Рассмотрим теперь частные случаи.

1. Уравнение имеет корень;

Это возможно только в том случае, когда в цепи присутствуют постоянные источники ЭДС или тока. Тогда разложение примет вид:

,

где первое слагаемое определяет установившееся значение тока или напряжения.

2. Уравнение имеет пару комплексно сопряженных корней:.

Этот случай возможен, когда в цепи действуют синусоидальные источники ЭДС или тока. Тогда разложение примет вид:

,

где сумма первых двух слагаемых определяет установившееся значение синусоидальных тока или напряжения.

3. Уравнение имеет корень кратности .

Тогда разложение имеет вид (результат приведен без вывода):

,

где

,

оригинал получившегося выражения выглядит следующим образом:

.

Полученное выражение можно немного упростить:

,

где m– кратностьk– го корня .

Существуют 2 «замечательных» предела, позволяющие проверить получившийся результат, прежде чем переходить от изображений к оригиналам. Пусть нам удалось найти изображение по Лапласу искомой функции, тогда должны выполняться следующие равенства:

,

т.е. по значению оригинальной функции в момент времени сразу после коммутации и по установившемуся режиму (принужденная составляющая функции) мы можем судить о правильности полученного изображения. Однако эти условия являются необходимыми, но не достаточными условиями правильности решения.

Существуют 2 подхода к решению цепей операторным методом:

1-й подход:

• записывается система интегрально-дифференциальных уравнений;

• применяем к полученной системе прямое преобразование Лапласа;

• записывается дифференциальное уравнение для требуемой переменной;

• определяем изображение по Лапласу требуемой переменной;

• определяем оригинал требуемой переменной (с помощью таблиц или с помощью теоремы разложения).

2-й подход:

• рисуем операторную схему замещения;

• поскольку мы перешли в область линейных уравнений, справедливы МУП, МКТ, метод эквивалентного генератора, метод наложения и т.д.;

• решаем схему и определяем изображение по Лапласу требуемой переменной;

• определяем оригинал требуемой переменной (с помощью таблиц или с помощью теоремы разложения).