Разряд конденсатора с начальным напряжением на rl-цепь.

В цепи нет источника, но зато содержится 2 реактивных элемента: катушка и емкость, обладающая напряжением в начальный момент времени. По второму закону Кирхгофа,

Продифференцируем уравнение по времени:

Определим ток в цепи:

Поскольку в цепи нет источника, , тогда

,

где и- корни характеристического уравнения:

,

откуда

.

Запишем начальные условия:

.

До коммутации ток через индуктивность не протекал, , с другой стороны,

.

Нужно еще одно уравнение (цепь 2 порядка), применим 2-й закон коммутации:

.

В момент времени

.

Тогда

.

Решая совместно и, получим:

.

Отсюда найдем ток:

Упростим полученное выражение для . Пусть

,

отметим, что

Подставив это равенство в выражение для , получим:

,

где

.

Итак, мы рассмотрели решение данной цепи в общем случае. Рассмотрим далее частные случаи и в зависимости от предполагаемых значений ипопытаемся построить графики токов и напряжений. Возможны 3 случая в зависимости от того, что получится в подкоренном выражении в формуле для:

1. иотрицательны и различны,;

2. иотрицательны и совпадают,;

3. ипредставляют собой пару комплексно сопряженных чисел,.

1 Случай.Апериодический характер процесса.

В этом случае являются различными действительными отрицательными числами:

,

кроме того,

,

поскольку мы выбрали , тогда

.

Наша задача - построить графики токов и напряжений, не зная численных значений элементов цепи. Ток в контуре начинается и заканчивается в нуле (в начальный момент времени цепь разомкнута, а после замыкания ключа в цепи нет источника, чтобы поддерживать ток). Значит, ток должен достигать максимального (по модулю) значения, причем это значение всегда будет отрицательным (см. формулу для значения тока с учетом выбранных значений и), что с точки зрения физики процесса означает разрядку конденсатора. Построим графики тока в контуре и напряжений на емкости и индуктивности (очевидно, график напряжения на сопротивлении будет повторять график тока с неким коэффициентом).

В начальный момент времени напряжение на индуктивности = , при(выражение для индуктивности представляет из себя суперпозицию двух экспонент). При максимальном значении тока в контуре значение напряжения на индуктивности должно = 0 (с физической точки зрения, все напряжение от конденсатора приложено к сопротивлению, а с математической, чтобы найти максимум функции, нужно приравнять к нулю производную этой функции и найти корни полученного уравнения; производная тока по времени с точностью до коэффициента равна).

Напряжение на конденсаторе в начальный момент времени по 2-му закону коммутации, а приэто напряжение падает до нуля.

Теперь рассмотрим максимумы напряжений на индуктивности и сопротивлении в моменты времени и. Как говорилось выше, максимум тока в контуре будет определяться из условия

.

Максимум напряжения на индуктивности в момент времени определяется из условия

.

2 Случай.Граничный характер процесса.

Данный частный случай характеризуется следующим соотношением:

,

т.е. значение подкоренного выражения в формуле для равняется нулю. Но тогда, и в выражениях для тока и напряжений получаем неопределенность вида:

.

В этом случае принимают и находят предел выражения для тока при:

.

Теперь найдем все напряжения, исходя из полученной зависимости тока от времени:

,

где мы учли, что . Тогда напряжение на конденсаторе имеет вид:

.

Как и для 1 случая, можно найти максимумы значений тока в контуре и напряжения на индуктивности:

,

и графики временных зависимостей токов и напряжений будут аналогичны предыдущему случаю.