Решение уравнений переменных состояния в частотной области.

Применим к уравнению прямое преобразование Лапласа:

,

где и- преобразования по Лапласу вектора переменных состояния и вектора входных воздействий соответственно. Тогда, решая это уравнение относительно, получим:

,

тогда изображение по Лапласу для выходного вектора выглядит следующим образом:

,

.

Главное достоинство этого подхода состоит в том, что в результате мы получаем аналитическое решение.

Возьмем теперь нулевые начальные условия, , тогда

.

Но мы говорили о том, что для существует следующее выражение:

,

где - этоматричная передаточная функция для системы свходов ивыходов. Т.е. решение уравнения переменных состояния в частотной области позволяет в явном виде определить передаточную функцию для системы свходами ивыходами, что достаточно важно на практике.

Мы пока будем работать с системой с одним входом и одним выходом. Вернемся к матрице , которая по определению равна:

,

где знаменатель – скалярное выражение, полином й степени, а числитель – сумма матриц, умноженная на оператор Лапласа в соответствующей степени. Существуеталгоритм Суриана-Фрейма, позволяющий определить матричные коэффициенты числителя и степени, на которые они будут умножаться, а также скалярные коэффициенты знаменателя. Знаменательпредставляет собойхарактеристическое уравнение системы(как раз то, которое мы получали из однородного дифференциального уравнения, издля операторного метода). Разложим этот полином на множители:

,

где -собственные частоты системы.

Теперь можем сформулировать следующие выводы:

1. Как только мы определили собственные частоты системы, с точностью до постоянного множителя становится известным знаменатель передаточной функции.

2. В зависимости от того, будут или не будут сокращаться с корнями функции числителя, они будут или не будут являться полюсами передаточной функции.

В линейной алгебре называются собственными значениями матрицы. Для их определения используется целый ряд алгоритмов, наиболее эффективным из которых является алгоритмQR.

Как-либо формально обозреть числитель рассматриваемого выражения и дать ему трактовку невозможно, однако поставим задачу определить нули этой функции. Сведем задачу нахождения нулей передаточной функции к определению полюсов некоторой вспомогательной системы. Для простоты будем рассматривать одномерный случай.

Итак, пусть для нашей системы заданы функции входа и выхода и передаточная функция (см. рисунок).

Введем понятиесистем с обратными связями. Они используются для следующих целей. Когда мы подаем сигнал на основное звено системы, ясно, что у входного сигнала возможны какие-либо отклонения от номинального значения, которыепередаст и на выход. Чем меньше отклонения от начального значения сигнала, тем лучше. Уменьшить отклонения можно следующим образом. Можно взятьзвено обратной связи , подать выходящий сигнал на это звено, и вывести его насумматор(см. рисунок). Таким образом нам удастся снизить нестабильность реакции цепи на возмущениях.

Итак, пусть в системе есть основное звено , звено обратной связи, тогда система, состоящая из этих двух звеньев называетсясистемой с обратными связями.

Попробуем «перевернуть» эту систему: возьмем за основу звено обратной связи (не зависящее от), в цепь обратной связи поставим прямое звено(см. рисунок). То, что относится к внешней системе, будем на рисунке снабжать «крышечками». Такая система называетсяобратной системой. Поскольку наша система обладает одним входом и одним выходом,

,

.

Находим передаточную функцию обратной системы:

.

Учтем, что , тогда

.

Раскрывая скобки, получим:

.

Возьмем предел от этого выражения при :

,

значит нули будут полюсами, а полюса- нулями исходной передаточной функции.

Итак, чтобы определить нули исходной передаточной системы, нам нужно проделать следующее:

1. сформировать основную матрицу обратной системы ;

2. определить ее полюса (собственные значения) с помощьюQRалгоритма;

3. взять предел при .

Вспоминаем второе уравнение для основной системы:

,

тогда

.

Теперь мы можем получить основное уравнение для обратной системы:

Поскольку не зависит от, новых реактивных элементов в обратную схему мы не привнесли. А значит при формировании обратной системы вектор переменных состоянияисходной и обратной систем совпадают. Значит полученное уравнение действительно является основным уравнением для обратной системы:

.

Лекция №10