Частные случаи.

Определение:Ось частот с расположенными на ней нулями и полюсами называетсяхарактеристической строкой.

1. Степень полинома числителя меньше степени полинома знаменателя на 1; знаменатель содержит нулевой корень.

Вэтом случае разложение будет иметь самый общий вид:

,

что соответствует схемной реализации, изображенной на рисунке.

Изобразим для этого случая характеристическую строку. На бесконечности и в нуле наша функция имеет полюса. В соответствие с материалом 1-го семестра, нули и полюса функции чередуются, поскольку, функцияявляется возрастающей. Соответственно, получаем характеристику вида полюс-полюс (см. график).

Теперь при тех же самых условиях построим :

.

Поскольку речь идет о проводимости, ветви будут поперечные (параллельное соединение), получим следующие значения для коэффициентов разложения:

,.

Получаем для этого случая следующую физическую реализацию:

2. Степень полинома числителя выше степени полинома знаменателя на 1; знаменатель не содержит нулевого корня.

Вэтом случае разложение приобретает следующий вид:

,

что соответствует реализации, изображенной на рисунке. Изобразим характеристическую строку. начинается в нуле, заканчивается все так же на бесконечности. Действительно, согласно мнемоническому правилу 1-го семестра, в цепи есть путь по индуктивностям. Соответственно, получаем для зависимостихарактеристику вида ноль-полюс.

Синтезируем теперь для тех же заданных условий проводимости, т.е.

.

Полученная схема будет иметь физическую реализацию, изображенную на рисунке.

3. Степень полинома числителя ниже степени полинома знаменателя на 1; знаменатель содержит нулевой корень.

Теперь вместо индуктивности присутствует емкость:

Соответственно в нуле будет полюс, а на бесконечности – ноль, характеристическая строка выглядит так, как изображено на рисунке. Характеристика имеет видполюс-ноль.

Аналогично предыдущим случаям, реализуем цепь из проводимостей:

4. Степень полинома числителя ниже степени полинома знаменателя, знаменатель не содержит нулевого корня.

Это значит, что в разложении не будет присутствовать ни , ни:

.

Далее изобразим физическую реализацию схемы, характеристическую строку и построим график зависимости , которая будет иметь видноль-ноль.

Реализуем цепь из проводимостей:

,

физическая реализация будет иметь следующий вид:

Недостаток метода:необходимо разлагать исходную дробно-рациональную функцию на простые дроби.

Метод Кауэра.

Основная идея этого метода состоит в том, чтобы не разлагать исходную дробно-рациональную функцию на сумму элементарных дробей. Алгоритм заключается в том, что последовательным делением постепенно выделяются слагаемые вида илииз исходной функцииили, а затем из последующих остаткови. Алгоритм продолжается до тех пор, пока остаток не будет равен нулю.

1. Степень полинома числителя выше степени полинома знаменателя.

Если у функции степень полинома числителя выше степени полинома знаменателя, то мы можем нацело разделить числитель на знаменатель с остатком:

,

где - правильная дробно-рациональная функция. Далее, формируем

,

где - правильная дробно-рациональная функция. Далее, по аналогии формируем

,

и т.д. Продолжая алгоритм, в итоге получаем:

.

Построим физическую реализацию полученного результата.- очевидно, индуктивность. На втором шаге мы переходим к, т.е. к проводимости, а это значит, что на поперечную ветвь мы должны добавить индуктивность, и т.д. Еслинечетное, то- индуктивность, в противном случае – емкость.

Пусть теперь при тех же условиях требуется синтезировать проводимость. Т.е. разложение будет иметь вид:

,

где - емкость, стоящая в поперечной ветви. Затем в продольной ветви стоит индуктивностьи т.д. Еслинечетное, то- емкость, в противном случае – индуктивность.

2. Степень полинома числителя ниже степени полинома знаменателя.

Вэтом случае из функцииуже невозможно выделить слагаемое, тогда выделим слагаемое вида. Тогда разложение имеет вид:

Первое слагаемое, очевидно, является емкостью , далее расставляем элементы так, как это было проделано в предыдущем случае. Получившийся результат изображен на рисунке.

Синтезируем теперь проводимость:

Поскольку речь идет о проводимости, в поперечных ветвях будут находиться индуктивности, в остальном все то же самое.