Определение порядка системы по мпс.

Число уравнений по МПС равняется числунезависимыхемкостей и индуктивностей цепи. Посмотрим, когда могут возникнуть зависимые индуктивности и емкости. Если в цепи есть– контур (см. рисунок), то возникает состояние зависимости для емкостей, т.е. напряжение на одной из емкостей может быть выражено через напряжение источника питания и напряжение на остальных емкостях (независимых переменных в случае, изображенном на рисунке, только 2).

Если в цепи есть– сечение, то возникает зависимость между токами через индуктивности.

Учитывая все вышесказанное, число уравнений по МПС равно:

,

где число ветвей с индуктивностями и емкостями,- число- контуров,- числосечений.

Составление уравнений по методу пс.

- вектор переменных состояния. Наша задача – записать следующую функцию:

,

связывающую сам вектор переменных состояния с его производной. Воспользуемся, как уже говорилось выше, минимальным набором переменных:

,

тогда производная от этого вектора имеет вид:

.

Посмотрим на физический смысл вектора из производных:

,,

т.е. производные от тока и напряжения связаны с напряжением на индуктивности и током на емкости соответственно. Записать уравнения по МПС значит записать взаимосвязь между напряжениями на индуктивностях (токами, протекающими через емкости) и токами через индуктивности (напряжениями на емкостях).

Составим уравнения по МПС на примере конкретной задачи. Запишем искомую связь между токами (напряжениями) и их производными с использованием законов Кирхгоффа. Воспользуемся 1-м законом Кирхгоффа:

.

Теперь мы можем найти связь между напряжением на индуктивности и током через индуктивность:

.

Нам удалось получить связь между производной от тока через индуктивность и самим током через индуктивность (и еще некоторыми слагаемыми).

Лекция №8.

Составим уравнения по МПС на примере конкретной задачи. Запишем искомую связь между токами (напряжениями) и их производными с использованием законов Кирхгоффа. Воспользуемся 1-м законом Кирхгоффа:

Теперь мы можем найти связь между напряжением на индуктивности и током через индуктивность:

.

Н

?

почему такое выражение для ?

ам удалось получить связь между производной от тока через индуктивность и самим током через индуктивность (и еще некоторыми слагаемыми). Теперь свяжем ток через емкость с напряжением на емкости:

При выводе этого выражения мы воспользовались следующими соображениями для выяснения коэффициента при :

.

Теперь мы можем записать в матричной форме основное уравнение по МПС:

.

Выходное уравнение:

.

Решаются подобные задачи в численном виде, приведем готовые ответы:

.

Недостатки:

1. Этот метод плохо формализуем.

2. Наличие взаимных индуктивностей существенно усложняет формирование уравнений.

Сведение формирования уравнения по методу переменных состояния к расчету цепи на постоянном токе.

Если и производные высших порядков равны нулю, то система уравнений по методу переменных состояния называетсяправильной системой. Тогда система уравнений по МПС примет вид:

.

Запишем оба эти уравнения в виде

,

где , размерности,, размерности,

блочная матрица:

размерности.

Будем искать матрицу , поскольку в случае ее нахождения мы получим сразу все искомые матрицы.й столбец матрицыравен вектору:

,

при условии, что при, т.е. если все элементы вектора, за исключениемго, равны нулю, а, то в результате произведенияполучим, что векторбудет равенму столбцу матрицы.

Значит теперь наша задача – привести вектор (вектор переменных состояния и входных воздействий) к нужному виду. Для этого нужно сделать следующее:

1. Заменяем все емкости коротким замыканием (обнуляем);

2. Заменяем все индуктивности на разрыв цепи (обнуляем);

3. Все источники ЭДС заменяем коротким замыканием (обнуляем);

4. Заменяем все источники тока разрывом цепи (обнуляем);

5. Заменяем -й элемент вектораединицей:– это единичный источник ЭДС для источников ЭДС и емкостей и единичный источник тока для источников тока и индуктивностей;

6. Проводим расчет цепи: определяем напряжения на индуктивностях и токи через емкости. Таким образом мы определим ;

7. Повторяем пункты 5 и 6 до тех пор, пока не превысит.

8. Переходим от кследующим образом.

,.

Тогда в матричном виде можно записать:

,

где - вектор токов через емкости размерности;

- вектор напряжений на емкостях размерности;

- квадратная диагональная матрица, на главной диагонали которой будут лежать собственные емкости системы;

Тогда

,

где - диагональная матрица, на главной диагонали которой лежат величины обратные емкостям. Обратимся к индуктивностям. Будем считать, что в нашей схемеиндуктивностей, причем все они могут быть взаимосвязаны, тогда:

,

где - вектор токов через индуктивности размерности;

- вектор напряжений на индуктивностях размерности;

- матрица размерности, в общем случае не является диагональной: на ее главной диагонали лежат собственные индуктивности, взятые со знаком «+»; в случае наличия магнитных связей недиагональные элементы матрицыопределяются как взаимные индуктивность междуй ий индуктивностями.

Тогда

.

В случае наличия взаимных индуктивностей матрица не является диагональной, тогда с учетом введенных обозначений:

.

При формировании матрицы особое значение приобретает упорядочение элементов, т.е. рекомендуется сгруппировать сначала все емкости, затем все индуктивности (или наоборот), потому что в случае отсутствия взаимных индуктивностей получим диагональную матрицу. Если же в цепи есть взаимные индуктивности, то матрицав левом верхнем углу будет диагональной, а правая верхняя и левая нижняя блочные матрицы вбудут нулевыми, что существенно упрощает работу с матрицей. Тогда

,

причем необязательно проделывать все описанные выше выкладки для всех элементов , достаточно ограничиться первымиэлементами.

Теперь вернемся к нашему примеру.

.

Для источников запишем вектор :

.

Вектор содержит 3 элемента, значит описанный выше процесс мы должны будем проделать трижды:. Определяем:

• - первый столбец матрицы ;

Всоответствие с нашей схемой, мы заменяем первый элемент вектораединичным источником (в данном случае,). Очень важно правильно определить полярность источника! В данном случае полярность источника будет совпадать с выбранным направлением тока: сверху вниз. Эквивалентная схема для первого шага изображена на рисунке.

Но поскольку в нашей цепи содержится только один источник тока, полярность на его зажимах будет соответствовать источнику, а значит напряжение на этом участке будет учитываться с противоположным знаком!

?

можно поподробнее про знак…

Поскольку на выходе – закоротка,

.

Теперь формируем вектор :

.

• - второй столбец матрицы ;

Проделывая те же шаги, что и в первом случае, получим эквивалентную схему, изображенную на рисунке для . Снова обращаем внимание на полярность источника: ток в изначальной схеме течет сверху вниз, от + к – , соответственно источник будет направленснизу вверх. Векторвычисляется аналогично предыдущему случаю:

.

• - третий столбец матрицы ;

Третий элемент вектора - входное напряжение. Эквивалентная схема изображена на рисунке. Записываем вектор:

.

Теперь можем сразу записать матрицу :

.

Поскольку размерность вектора переменных состояния = 2, можем в матрице выделить следующие блоки: левая верхняя часть – это матрица, правая верхняя – это, левая нижняя – этои, наконец, правая нижняя часть – это скаляр.

Конечно, данный метод удобен только для проведения расчетов численными методами, для ручного счета он слишком сложен и громоздок.

Достоинства:

• Метод применим для цепей с взаимными индуктивностями и прост в исполнении.

Недостатки:

• Емкости заменяем на малые сопротивления, а индуктивности на большие сопротивления. Эта замена является источником погрешности.

• Также источником погрешности является обращение матриц и, особенно когда матрицанедиагональна.