3 Случай.Периодический характер процесса.

Данный случай характеризуется выражением

,

т.е. корни характеристического уравнения и- комплексно сопряженные величины. Введем следующие обозначения:

,.

Тогда

.

Найдем выражение для тока в контуре:

.

Получили периодическую зависимость тока от времени, отсюда и название случая.

.

Введем новые переменные иследующим образом:

1)

2) .

Разделим и умножим выражение для на:

.

Найдем оставшуюся временную зависимость на конденсаторе. Имеем:

,

тогда

.

Заметим, что в данном случае мы имеемдве постоянных времени.

График зависимости тока от времени будет иметь вид:

.

В общем виде график такого плана строится следующим образом. Очевидно, у этого графика есть 2 асимптоты – огибающие синусоиды, ведь график функции представляет собой синусоиду, амплитуда которой уменьшается по экспоненциальному закону.

Первая постоянная времени характеризует асимптоты-экспоненты, а вторая -- частоту синусоидальной функции.

Теперь займемся построением графиков непосредственно токов и напряжений. Выпишем для наглядности полученные временные зависимости:

График тока (а значит и напряжения на резисторе) будет иметь такую же структуру, как только что рассмотренный, только взятый с противоположным знаком (действительно, при замыкании контура конденсатор начинает разряжаться).

Из формулы следует, что график напряжения на индуктивности начинается из отрицательной области (в начальный момент времени), а график напряжения на конденсаторе – из такого же по модулю и противоположного по знаку значения. Напряжение на индуктивности уже достигло своего максимального значения и после коммутации спадает (по модулю), а на емкости – только приближается к максимальному значению. Исходя из этих соображений, можно качественно построить графики.

Отметим, что если , то,, т.е. график будет без затуханий: действительно, мощность не будет рассеиваться на активном элементе.

Короткое замыкание rlCцепи при постоянное напряжении.

Случай аналогичен предыдущему, только включим в цепь источник ЭДС. Второй закон Кирхгофа:

Пусть (в противном случае обозначим), тогда

,

Характеристическое уравнение не меняется:

,

его корни имеют вид:

.

Определяем постоянные интегрирования. По 2-му закону Кирхгофа,

.

Исходя из законов коммутации, можно записать:

,,

значит

.

Тогда можно записать следующие уравнения для нахождения постоянных интегрирования:

.

Найдем временные зависимости:

,

т.е.

.

Мы получили решение в общем случае. Теперь снова рассмотрим несколько частных случаев (таких же, как и в предыдущем случае, без источника) и построим соответствующие графики.

• -апериодический характер процесса;

Построим зависимость тока от времени. Снова руководствуемся теми же соображениями, что и в случае без источника. Поскольку мы выбрали

,

то ,все графики неотрицательны. По 1-му закону коммутации, график тока начинается в нуле; поскольку в цепи постоянного тока находится емкость, характеристика и заканчивается в нуле, т.е. на графике зависимости имеется максимум: с точки зрения физики, конденсатор заряжается.

График начинается в нуле, а при: все напряжение источника приложено к разрыву цепи – емкости. Поскольку график представляет из себя суперпозицию двух экспонент, где-то на графике зависимости будет перегиб.

• -периодический характер процесса;

График зависимости тока от времени строится точно так же, как и в случае без источника. Особый интерес представляет построение графика .

Характеристика начинается в нуле, при. В общем случае зависимостьвыражается формулой

,

и поскольку процесс периодический, можно изобразить асимптоты-экспоненты, «запирающие» график зависимости в окрестности значенияЕ.

Лекция №5