Нелинейные цепи.

Определение:Нелинейной цепью называется цепь, составленная из нелинейных элементов.

Определим теперь, что же мы будем называть нелинейным элементом. Рассмотрим характеристику, изображенную на рисунке. Казалось бы, зависимость линейная, следовательно и элемент, описываемый данной характеристикой, линейный. Однако обратим внимание на параметры данного элемента. Сопротивление . Значит если призначение, то сопротивление элемента. С другой стороны, значениюсоответствует, следовательно. Параметры элемента зависят от токов и напряжений, следовательно элемент –нелинейный.

Рассмотрим, для чего применяются нелинейные элементы:

1. Для усиления мощности;

2. Изменение спектрального состава – амплитудная и частотная модуляция²;

3. Генерация колебаний;

4. Релейные эффекты;

5. Стабилизация токов и напряжений.

Рассмотрим недостатки нелинейных элементов:

1. Насыщение сердечников трансформаторов;

2. Увеличение тока намагничивания;

3. Искажение формы тока и напряжения (иногда и потеря сигнала).

Классификация нелинейных цепей.

Нелинейные цепи бывают:

1. Инерционные (когда нелинейность параметров зависит от времени или других параметров) и безынерционные;

2. С однозначными и неоднозначными характеристиками;

3. С симметричными и несимметричными характеристиками;

4. Управляемые и неуправляемые.

Нелинейный элемент обозначается, как обычный, но с «козой» (пример см. на рисунке).

Вкачестве конкретного примера нелинейного элемента рассмотримдиод, прямая ветвь ВАХ которого описывается выражением:

.

Обозначение диода на схемах и ВАХ приведены на рисунке. Диод - элемент неуправляемый, несимметричный. В случае нагрева может быть инерционным.

Транзистор– многополюсник, его входная характеристика (зависимость тока базы от напряжения база-эмиттер) обладает теми же свойствами, что и диод, а выходная характеристика – зависимость коллекторного тока от напряжения коллектор-эмиттер – являетсяуправляемой, параметром является ток базы.

Индуктивность, намотанная на сердечник. Зависимость для такого элемента называетсяхарактеристикой намагничевания. На определенном участке характеристики этот элемент можно считать линейным; нелинейность начинает проявляться в тот момент, когда начинает увеличиваться ток намагниченности, индуктивность перестает быть индуктивностью.

Рассмотримвыпрямительную схему, которая состоит, как правило, из диода и сопротивления нагрузки (см. рис.). Подавая на вход такой системы синусоидальный сигнал, на нагрузке получимполупериодное выпрямление.

Характеристики нелинейных элементов.

Характеристики бываютстатические идинамические, соответственно, сопротивления бываютстатическиеидифференциальные.

Рассмотрим ВАХ, изображенную на рисунке. Выберем некоторую фиксированную точку на этой характеристике (рабочую точку). Статическое сопротивление в этой точке определяется по формуле:

,

где некий коэффициент размерности. Дифференциальное сопротивление определяется по следующей формуле:

.

Методы расчета нелинейных элементов.

Существуют графические,графо-аналитическиеианалитическиеметоды расчета.

1. Графические методы расчета.

Пусть даны два нелинейных элемента и(см. рис.). Для графического метода расчета оба эти элемента должны быть заданы своими графическими характеристиками.

• Последовательное соединение:

В случае последовательного соединения ток через нелинейные элементы одинаков, результирующую характеристику строим путем сложения значений напряжений при одинаковых значениях тока:

• Параллельное соединение:

В случае параллельного соединения напряжение на нелинейных элементах будет одинаково, следовательно, результирующую характеристику строим путем сложения значений тока при одинаковых значениях напряжения:

• Смешанное соединение:

В данном случае (см. рис.) характеристики первого и второго элемента будут складываться при одинаковых значениях напряжения, а затем результирующий для 1 и 2 элементов график будет складываться с характеристикой 3 элемента при одинаковых значениях токов.

Все проделанные рассуждения проводились для случая, когда в рассматриваемом участке цепи нет источников. В том случае, если источники в цепи присутствуют, нужно учитыватьсдвиг, который эти источники обеспечивают. Для случая, изображенного на рисунке, имеем:

.

Характеристика «средней» ветви будет смещена влево на величину , характеристика «правой» ветви – вправо на величину. Перпендикуляр к оси напряжений в точкесоответствует источнику, поддерживающему постоянное напряжение на зажимах оставшейся системы. Поэтому зафиксировав значения токови, при которых на системе «нелинейный элемент – источник» достигается напряжение, и сложив эти значения, можно получить результирующий ток:

Рассмотрим еще один случай: пусть имеется сложная схема, содержащая один нелинейный элемент. Например, пусть дан активный двухполюсник (см. рис.), нагруженный на нелинейный элемент и наша задача – определить ток и напряжение на нелинейном элементе. По теореме об эквивалентном генераторе, приводим исходную схему к виду, изображенному на рисунке ниже. После чего поступаем следующим образом. Нагрузочная характеристика эквивалентного генератора характеризуется двумя особыми точками:и. Тогда построив на том же графике ВАХ нелинейного элемента и определив точку пересечения двух графиков, получим значения тока и напряжения на нелинейном элементе.

Пусть теперь в рассматриваемой схеме два нелинейных элемента, расположенных так, как это показано на рисунке. В этом случае определяем параметры Т-образного четырехполюсника, пользуемся теоремой об активном четырехполюснике и строим нужные графики.

2. Графо-аналитические методы.

Этот метод, как следует из названия, совмещает элементы графического и аналитического методов. ВАХ нелинейных элементов должна быть задана графиком. В данном методе главная проблема состоит в определении рабочей точки. Предположим, рабочую точку нам определить удалось. Как нам уже известно,

.

Тогда напряжение на нелинейном элементе в окрестности рабочей точкибудет описываться выражением:

,

где - напряжение на нелинейном элементе в отсутствие тока, что соответствует эквивалентной схеме, изображенной на рисунке. Разделив полученное выражение на, получим ток через нелинейный элемент:

.

Вводя обозначение , получим, что, что соответствует эквивалентной схеме с источником тока.

Однако ВАХ нелинейного элемента может иметь вид, сходный, например, с характеристикой диода, т.е. для данной характеристики касательная в рабочей точке пересекает ось напряжений в точке. В этом случае эквивалентные схемы строятся точно так же с точностью до направления полярности источникаи:

.

Для схемы с источником тока:

.

Эквивалентные схемы для обоих случаев изображены на рисунках ниже.

Итак, определим порядок расчета нелинейных элементов графо-аналитическим методом:

• определяем рабочую точку;

• строим линеаризованную схему замещения нелинейного элемента;

• проводим расчет для линейного участка любым известным методом.

3. Аналитические методы.

Рассмотрим следующую задачу: активный двухполюсник нагружен на нелинейный элемент, нужно определить ток и напряжение через нелинейный элемент. При помощи метода эквивалентного генератора строим эквивалентную схему замещения. Очевидно, при аналитических методах расчета ВАХ нелинейного элемента должна быть задана аналитически. Пусть в нашей задаче

.

Определим для нашей задачи и параметры эквивалентного генератора (см. рис.). Запишем 1-й закон Кирхгофа:

.

В аналитических функциях в общем виде решить данное уравнение невозможно. Решение находят с помощью итерационных методовилиитерационных процедур. Итерационные методы предполагают:

1. задание алгоритма;

2. задание начальной точки.

Воспользуемся методом деления отрезка пополам. Ввиду того, что мы рассматриваем электрическую цепь, функция будет монотонна. А это значит, что если мы возьмем точку примерно в середине интервала, на котором мы рассматриваем исходную функцию, то знак полученного значения совпадет со знаком на одном из концов интервала. Затем подобными манипуляциями рассчитываем ноль функции до тех пор, пока не будет достигнута требуемая степень точности. График функции изображен на рисунке. Запишем алгоритм решения задачи:

1. на правом конце интервала ;

2. на левом конце интервала ;

3. находим среднее значение на интервале: ;

4. дальнейшие действия определяются знаком : если знаксовпадает со знаком, тогдазаменяем наи проводим расчет снова. Аналогично для случая, если знаксовпадает со знаком.

Отметим, каким образом нужно выбирать пределы интервала.

1 граница:напряжение на линейном элементе отсутствует,.

2 граница:предельное значение напряжения на нелинейном элементе (в данном случае, когда напряжение на нелинейном элементе равно напряжению источника ЭДС).

В условиях данной задачи:

Недостатки алгоритма:

• линейная сходимость;

• применимость только для цепей с одним нелинейным элементом.

Лекция №12.