Синтез линейных электрических цепей.

До сих пор мы занимались задачами, в которых были известны структура и параметры цепи и входное воздействие, и нужно было определить- выходное воздействие, этозадача анализа.Задача синтезазаключается в следующем: пусть дано входное воздействие и желаемая реакция цепи; нужно определить структуру и параметры цепи таким образом, чтобы обеспечить желаемую реакцию.

Задача синтеза состоит из трех частей:

1. аппроксимация полиномами входного воздействия и реакцией цепи;

2. реализация;

3. оптимизация.

Последним пунктом мы и будем заниматься: будем считать, что нам известна дробно-рациональная функция:

,

причем в качестве будем рассматриватьобобщенные входные функцииили- входное сопротивление или входная проводимость. Фактически мы переходим от четырехполюсников к двухполюсникам, чтобы упростить выкладки. Итак, для- нули функции,- полюса.

Отметим, что задача синтеза неоднозначна: она может иметь несколько решений или не иметь решений вообще.

Реализация обобщенных входных функций.

Прежде чем приступать к синтезу, нужно проверить выполнение необходимых условий:

1. Все нули и полюса расположены в левой полуплоскости и на мнимой оси, причем на мнимой оси не может быть нулей и полюсов кратности . Действительно, если полюслежит в правой полуплоскости, то, воспользовавшись теоремой разложения, получим в качестве одного из слагаемых в решении, где, т.е. с ростомфункция не убывает, чего быть не может.

Если на мнимой оси есть нули и полюса кратности , то снова воспользовавшись теоремой разложения, получим, где прифункция также будет, чего быть не может.

2. Степени полиномов числителя и знаменателя (для старших и младших коэффициентов) не могут различаться более чем на 1 (в противном случае ноль или полюс будет иметь кратный вычет в нуле или в бесконечности).

3. Коэффициенты полиномов числителя и знаменателя являются положительными вещественными числами.

Доказательство:

Если полюс лежит на действительной оси, то обозначив получаем:

?

не понятно…

.

Если нули и полюса лежат не на действительной оси, то они должны образовывать комплексно-сопряженные пары, потому что коэффициенты полиномов числителя и знаменателя определяются сочетанием элементов, из которых построена цепь. В этом случае:

,

поскольку лежит в левой полуплоскости. Снова получаем все положительные коэффициенты. Полиномы с положительными коэффициентами называютсяполиномами Гурвица.

4. Требование положительных вещественных функций:

если . Это нужно понимать следующим образом: поскольку мы синтезируемцепь, то у нас не могут получиться отрицательные значения параметров элементов.

Синтез реактивных двухполюсников.

Признаком того, что двухполюсник может быть синтезирован чисто реактивными элементами, является то, что числитель содержит слагаемые только в четной степени, а знаменатель - в нечетной, или наоборот.

Используются метод Фостераиметод Кауэра: метод Фостера предполагает разложение исходной функции на элементарные слагаемые (определение вычетов, полюсов и пр.), о методе Кауэра будем говорить чуть позже, сейчас остановимся на методе Фостера.

Чисто реактивные двухполюсники предполагают запись исходной функции в виде разложения по полюсам:

.

Обратим внимание на слагаемое : вместо членов разложения по комплексным полюсамимы записали разложение по комплексно-сопряженной паре. Такая запись возможна по следующей причине. После определения коэффициентов разложения (которые будут действительными числами) нам необходимо перевести полученный результат на языкцепей. А перевод слагаемого с комплексным полюсом в элементцепи невозможен. Кроме того, обратим внимание нав числителе этого выражения: это необходимо для выполнения второго необходимого условия, т.е. чтобы степени полиномов числителя и знаменателя отличались не более чем на 1. Как мы увидим в дальнейшем, именно такая цепь может быть физически организована.

Посмотрим, каким образом реализуется эта функция. Очевидно, в нашем представлении соответствует индуктивности,- емкости. Посмотрим, чему соответствуют оставшиеся слагаемые. Предположим,каждое из этих слагаемых соответствуют параллельно включенным индуктивности и емкости. Проверим это:

,.

Таким образом, получаем реактивный двухполюсник следующего вида: