Формирование уравнений переменных состояния на основании передаточной функции цепи: метод Бека.

Как уже было сказано, передаточную функцию можно определить экспериментально. Кроме того, исходя из этой функции, можно построить математическую модель цепи. Итак пусть дана передаточная функция , имеющая следующий вид:

,

которая задана своими полиномами числителя и знаменателя, причем . Наша задача – сформировать по этой функции уравнения переменных состояния. Введем функциюследующим образом:

,.

Основной смысл вводимого определения состоит в следующем ее свойстве:

,

причем , поскольку порядок системы. Очевидно, что

,.

Выражение для запишем в виде суммы двух слагаемых: первое слагаемое соответствует, второе – всей оставшейся сумме:

.

Поскольку ,

.

Теперь формируем уравнения по МПС! Отметим следующие свойства слагаемых из суммы . В первой системе записаны свойства, о которых говорилось выше. Вторая система записана получена из первой следующим путем. Передаточная функция определена при нулевых начальных условиях. Тогда выполнив обратное преобразование Лапласа для каждого из уравнений первой системы, получим:

.

Подобным образом переводим уравнение в область времен:

.

Таким образом, мы получили систему дифференциальных уравнений первой степени вида:

,

.

Это не единственный метод формирования уравнений по передаточной функции цепи: существует т.н. метод Джонсонаи др. Полученная нами выше форма уравнений переменных состояния называетсяканоническойформой фазовой переменной. Этот метод широко используется в современной теории автоматического управления.

Лекция №9.

Решение уравнений переменных состояния во временной области.

Итак, по МПС нам удалось сформировать следующую систему уравнений:

,

.

Кроме того, заданы состояние системы в нулевой момент времени и входное воздействиедля. При этих условиях нам нужно определить вектор переменных состояния и все токи и напряжения цепи.

Сложности возникают с первым матричным дифференциальным уравнением. Попробуем решить задачу в одномерном случае, а затем каким-либо образом обобщить полученное решение на многомерный случай. Тогда мы получаем дифференциальное уравнение первого порядка. Считаем, что нам известно :

.

Решаем уравнение при помощи метода вариации постоянных, как обычно, в 2 шага:

1. Принимаем , тогда

,

где .

2. Теперь считаем, что , тогда имеем:

Подставляем это выражение в исходное дифференциальное уравнение:

,

интегрируем:

.

Величину находим следующим образом:

.

Итак, окончательно:

.

Мы получили решение уравнения для скалярного (одномерного) случая. Попробуем провести обобщение на случай матричного уравнения.

Если в обычном алгебраическом уравнении

, то, т.е..

Если же у нас матричное уравнение , то чтобы найтимы умножаем обе части уравнения на. Получаем:

.

Надо доопределить, что такое . Для этого находим алгебраическое дополнение матрицыи делим на ее определитель:

,

причем это выражение верно только для невырожденной матрицы .

Вернемся к полученному решению для одномерного случая. В нашем решении присутствует экспонента в степени , которая в многомерном случае превращается в экспоненту в степени матрица. Поэтому надо определитьфундаментальнуюилипереходную матрицусистемы. Разложим функциюв ряд Тейлора:

,

где - это единичная матрица,- фундаментальная матрица системы.

Замечания:

1. Ряд для данной функции сходится .

2. Ф

   ?

   зачем такое требование на коммутативность? (2)

   ?

   почему произведение матриц коммутативно? (4)

   ундаментальная матрица – это квадратная матрица размерности(размер матрицы) и все её члены зависят от.

Свойства:

1. 

2. , только если

3. 

4. 

5. , если матрица– невырожденная.

Ряд сходится достаточно быстро, поэтому на практике обычно ограничиваются первыми членами, но из-за этого нужно учитывать погрешность.

Выполним для функции обратное преобразование Лапласа:

,

где - оператор Лапласа. По определению обратной матрицы:

.

В знаменателе – полином й степени; в числителе – сумма матричных коэффициентов, умноженных на оператор Лапласа в соответствующей степени.

Теперь, когда мы определили фундаментальную матрицу, ее свойства и правила работы с ней, можно обобщить решение, полученное для скалярного случая:

,

это решение определяет вектор переменных состояния при ,- начальные условия для вектора переменных состояния: это предыстория схемы при. Теперь определим вектор:

.

В этом уравнении первое слагаемое определяет реакцию системы на нулевое входное воздействие, второе и третье слагаемые определяют реакцию системы при нулевых начальных условиях.

У этого уравнения существуют 2 недостатка:

1. Необходимо вычисление фундаментальной матрицы, что влечет за собой либо разложение в ряд (а следственно, погрешность), либо получение аналитического выражения, связанного с громоздкими и сложными вычислениями (обратное преобразование Лапласа).

2. Под знаком интеграла имеем : в общем случае, зависимостьнеизвестна, поэтому получение решения в элементарных функциях не представляется возможным.

Попытаемся упростить полученное решение. Когда шла речь об интеграле Дюамеля, мы воспроизводили сложную функцию путем ее аппроксимации¹к кусочно-постоянной функции (заданный интервал разбивали на маленькие участки, на каждом из которых функция). Если теперь положим, а, то после интегрирования получаем:

.

Теперь для данного случая можно записать и , но полученным уравнением можно пользоваться для реализации такого же подхода, который использовался при получении интеграла Дюамеля (разбиение функции на ступеньки, причем для каждой из ступенек значениебудет свое).