Передаточная функция линейных систем.

Рассмотрим сигналы, пройденные нами ранее, и реакцию цепи на эти сигналы: постоянный ток, синусоидальный ток, периодический несинусоидальный, непериодический, импульсные функции нулевого и первого порядка. Между реакциями цепи на все эти воздействия существует некоторая неочевидная связь, которую мы сейчас и постараемся найти.

Возьмем линейную системуn-ого порядка. Пусть- входное воздействие,– реакция цепи. Наша задача – найти связь между этими функциями. Составим дифференциальное уравнение:

.

Применим к левой и правой части уравнения прямое преобразование Лапласа при равенстве нулю всех начальных условий (не только для самих переменных, но и для их производных любых порядков):

,

где и- изображения по Лапласу реакции системы и входного воздействия соответственно. Тогда

,

где -передаточная функция.

Отметим, что коэффициенты и– положительные вещественные числа, определяемые параметрами системы (следуют из дифференциального уравнения). Также очевидно, что.

Выясним физический смысл функции . Для этого приравняем знаменатель к единице:

,

но тогда - импульсная функция первого порядка, т.е.передаточная функция является изображением по Лапласу реакции системы на воздействие импульсной функции при нулевых начальных условиях.

Таким образом, если известна для заданной системы, можно определить реакцию цепи во временной области:

.

Свойства :

1. передаточная функция определена только для линейных систем, для нелинейных систем не имеет смысла;

2. передаточная функция численно равна изображению по Лапласу реакции цепи на импульсную функцию;

или, другими словами, передаточная функция является отношением изображений по Лапласу реакции цепи и входного воздействия;

3. при определенной передаточной функции все начальные условия (включая производные и производные высших порядков) равны нулю.

4. не зависит от входного воздействия, это собственная характеристика цепи.

5. является функцией оператора Лапласа и не является функцией времени, либо какой-то другой переменной, т.е.представима в виде:

,

где - нули функции,- полюса функции. Тогда

,

где .

Подадим в линейную цепь синусоидальный сигнал, однако не в «чистом виде»: возьмем в качестве опорного сигнала следующую комплексную функцию (очевидно, она содержит синусоидальную составляющую):

,

изображение по Лапласу этой функции имеет вид:

.

Определим реакцию цепи:

Мы говорили о том, что функция имеет ровнополюсов, тогда с учетом экспоненциального воздействия функцияимеетполюс. Выделим вычет по полюсу, соответствующему корню(обозначим этот корень):

.

Выполним обратное преобразование Лапласа от при(установившийся режим). Вспоминаем, что- изображение по Лапласу реакции цепи на импульсную характеристику. Импульсная характеристика дает скачок, но со временем обязательно затухает до нуля, потому что в цепь закачивается конечная энергия. Т.е. выполнив обратное преобразование Лапласа для, приполучим ноль. Но все полюса функциисовпадают с полюсами, значит. С учетом вышесказанного, запишем:

- функция комплексной переменной, представим ее в экспоненциальной форме, т.е., значит

.

Вывод1:Реакция цепи на синусоидальное воздействие является синусоидальной функцией той же частоты.

Вывод2:Передаточная функция обуславливает усиление (затухание) сигнала в раз и фазовый сдвиг сигнала на угол.

Теперь проделаем следующее: будем подавать на некую неизвестную цепь синусоидальные сигналы, меняя при этом частоту и меряя усиление амплитуды сигнала на выходе и фазовый сдвиг. На основе полученных данных составим таблицу измерений. Таким образом, из экспериментальных данных можно определить для данной цепи. Заметим только, что такое экспериментальное определение будет справедливо лишь в том диапазоне частот, для которых была составлена таблица.