Расчет переходных процессов при воздействии импульсных эдс и эдс произвольной формы.

Введем понятия импульсных ЭДС.

Импульсная ЭДС нулевого порядка--единичная функция Хевисайда,импульсная ЭДС первого порядка-дельта-функция Дирака.

Дельта-функция Дирака доопределяется следующим образом:

.

Выше (первый семестр) говорилось о том, что

,

или в обратную сторону:

.

Пусть Е– импульсная ЭДС нулевого порядка, тогда, как известно, при замыкании,и– цепей соответственно, для токов получаются следующие выражения:

.

Любое из этих соотношений может быть переписано в виде:

,

где соответственно для каждого из случаев

,

-переходная проводимость цепи.

Физический смысл: численно равна реакции цепи на единичный скачок напряжения. Кроме того,определяется только параметрами цепи.

С другой стороны, для напряжения на индуктивности имеем:

,

поскольку экспонента – величина безразмерная; тогда -переходная характеристика цепи.

Пусть - импульсная ЭДС первого порядка. Будем рассматривать этот случай как 2 скачка: первый скачокпроисходит в момент времени, а второй-при,, но. Рассмотрим реакцию цепи.

,

где -импульсная проводимость цепи, а в общем случае-импульсная характеристика цепи.

Таким образом, алгоритм расчета цепи состоит в следующем:

1. определяем реакцию цепи на единичный скачок напряжения (тока);

2. берем производную от полученной функции – определяем импульсную характеристику;

3. считаем реакцию.

Рассмотрим в качестве примера- цепь. Придерживаясь указанного алгоритма, получим следующий результат:

,,.

Построим график зависимости и обратим внимание на физический смысл результата.

До коммутации ток в цепи не протекал (см. определение импульсной ЭДС 1 порядка). В нулевой момент времени на цепь действует импульс бесконечной амплитуды. За счет скачка амплитуды ЭДС происходит и скачок тока. Конечная постояннаяговорит нам о том, что и энергия, передаваемая цепи, конечна. А значит, вся энергия должна рассеяться на сопротивлении, что мы и видим из графика: ток убывает до нуля.

Эдс произвольной формы.

Рассмотрим воздействие на абстрактную цепь ЭДС произвольной формы. Пусть. Разобьем функциюна равные временные интервалы(см. график), тогда- приращение напряжения в момент времени. Тогда

.

Каждая «ступенька» представляет собой импульсную ЭДС нулевого порядка, тогда реакция цепи на воздействие й «ступеньки» будет выглядеть следующим образом:

.

Общая реакция цепи представляет собой сумму реакций от отдельных «ступенек» и может быть записана в виде:

.

П

?

почему верхний предел интегрирования не ? Потому что все, что больше, все равно ноль даст?

ереходя к пределу при,,, получим:

.

Последние 4 выражения представляют собой 4 формы интеграла Дюамеля. В зависимости от вида входного воздействия и от переходной или импульсной характеристики цепи используется та или иная форма. Если в начальный момент времени, есть смысл пользоваться 1 или 2 формой.

Рассмотримцепь (см. рисунок), где- фактически, передний фронт прямоугольного импульса (см. график). Решим эту задачу с помощью операторного метода с и помощью интеграла Дюамеля.

1. Операторный метод

Изображение входного воздействия будет выглядеть следующим образом:

.

Операторное сопротивление и ток соответственно имеют вид:

.

Осуществим переход к оригиналам:

,

где в данном случае не зависит от. Воспользуемся теоремой разложения:

.

Корни уравнения имеют вид:

,.

Тогда по теореме разложения

.

Вычислим отдельно каждое из слагаемых, затем сложим:

,

.

2. Интеграл Дюамеля

В начальный момент входное воздействие = 0, поэтому воспользуемся 1 формой:

?

откуда взяли такую передаточную функцию? Предположили, что она известна (напряжение на конденсаторе при перех. проц.)?

,

где . Далее вместобудем писать:

.

- передаточная функция – реакция цепи на единичное воздействие:

.

Берем интеграл и находим зависимость :

.

Лекция №7.