Теорема 2. Если коэффициенты cn ряда Лорана (66) таковы что имеют место соотношения.
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim n |
|
c n |
|
r R |
|
|
|
|
|
(67) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
lim n |
cn |
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
то областью сходимости ряда Лорана (66) является кольцо
r z z0 R
Это кольцо изображено в комплексной плоскости с центром в точке z0 .
62
Im(z)
R
r
Re(z)
В этом кольце функция f(z) равная сумме (66) является
аналитической функцией. Коэффициенты ряда (66) выражаются с помощью контурных интегралов.
cn 1 |
|
f (z) |
n 1 |
d z |
(68) |
|
2 i |
|
z0 |
|
|||
z |
|
|
63 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Здесь n Z, а контур - произвольный замкнутый контур (обход контура – в положительном направлении), целиком лежащий в кольце r z z0 R и охватывающий точку z0.
z0
Применим теорему 2 к нашему ряду (64)
|
|
(z) x(n) z n |
(69) |
n 0
64
Сравнивая ряд (69) и ряд Лорана (66), мы видим следующее соответствие
cn |
0, |
c n x(n), |
n 0,1, |
z0 |
0 |
|
|
Поэтому для нашего ряда (69) мы имеем
r |
|
n |
|
x(n) |
|
, |
R (70) |
|
lim |
||||||||
|
|
|||||||
n |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
||||||
Другими словами ряд (69) сходится во внешней части круга радиуса r с центром в начале комплексной плоскости.
r z |
(71) |
|
65
В этой области его сумма (z) представляет собой аналитическую функцию. Аналитичность функции подразумевает, что в этой области отсутствуют особые точки, как у функции (z), так и у Z – преобразования X(z). Особые точки функции X(z) могут быть только в круге |z| r , в который аналитически продолжена функция (z) .
Пример 2. Найти Z – преобразование следующей последовательности.
x(n) n, n 0,1, (72)
66
Вспоминаем из анализа известный предел
|
|
n |
|
1 |
|
|
lim |
n |
(73) |
||
n |
|
||||
Поэтому радиус области сходимости будет равен единице |
|
||||
r lim n x(n) lim n n 1 (74) |
|
n |
n |
Таким образом, ряд Z – преобразования в области |z| > 1 сходится и является аналитической функцией.
|
n |
|
d |
|
n |
|
d |
|
n |
|
|
X (z) n z |
|
z |
|
z |
|
z |
|
|
z |
|
(75) |
|
d z |
|
|
||||||||
n 0 |
|
n 1 |
|
|
|
d z n 0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
67 |
В выражении (75) использовано правило дифференцирования
z ddz z n n z n
Последняя сумма в выражении (75) является бесконечной суммой геометрической прогрессии со знаменателем q = 1/z .
Как известно сумма геометрической прогрессии равна:
|
n |
|
|
|
1 |
|
q |
|
|
|
|
(76) |
|
n 0 |
|
|
1 |
q |
||
|
|
|
||||
68
Используя формулу (76) Z – преобразование (75) приводим к виду.
X (z) z |
d |
|
z |
|
|
|
|
z |
(77) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
z 1 2 |
||||||
|
d z z |
|
|
|
|||||
Хотя формула (77) была получена для области |z| > 1 , мы, однако будем считать, что формула
X (z) |
z |
|
|
(78) |
|
z |
1 2 |
||||
|
|
||||
справедлива и для области |z| 1, благодаря аналитическому продолжению формулы (77) в эту область.
69