- •Продолжение
- •Теорема 2. (Теорема отсчетов). Если сигнал s(t) имеет спектр ограниченный полосы, т.е. S(f)
- •Доказательство. Выразим сигнал через его спектр
- •Спектр S(f) , принимающий ненулевые значения только на отрезке f [-F, F] ,
- •Тогда получаем
- •Берем формулу для сигнала (59) и заменяем в ней спектр S(f) на спектр
- •Отсюда, учитывая, что интеграл в (65) равен
- •Итак, шаг дискретизации t позволяет точно восстановить аналоговый сигнал, если его спектр ограничен
- •Это условие можно записать через частоту Найквиста F
- •Лекция 6
- •Соотношение (2) носит название дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Иногда говорят, что вектор
- •Теорема 1. Вектор x (x0 , x1, , xN 1 ) можно восстановить
- •В выражении (4) поменяем порядок суммирования.
- •Используем формулу суммы геометрической прогрессии (7) для вычисления суммы (6).
- •В результате формула (8) принимает вид.
- •Таким образом, если n m , сумма в выражении (6) равна нулю.
- •Подставляем (12) в формулу (5), и используем свойство символа Кронекера, сворачивать сумму. В
- •Можно сказать, что вектор x (x0 , x1, , xN 1 ) и
- •Фрагмент кода программы показывает, как можно получить ДПФ для заданного вектора x ,
- •Vector x
- •Обратное дискретное преобразование Фурье ОДПФ, выполняет функция ifft(X) . Вызов этой функции осуществляется
- •Свойства дискретное преобразование Фурье
- •1. Свойства симметрии. Если вещественный вектор x с
- •Из соотношений (16) вытекают условия симметрии для действительных и мнимых частей компонент вектора
- •2. Линейность. Линейной комбинации векторов соответствуетx1, x2 линейная комбинация ДПФ.
- •3. Циклический сдвиг влево. Циклическому сдвигу влево компонент вектора-сигнала, соответствует умножение компонент вектора-сигнала
- •Заменим в формуле (20) компоненты вектора y на компоненты вектора x с помощью
- •Далее выполняем в выражении (21) следующие преобразования.
- •Следствие. Циклический сдвиг влево на m позиций. Циклическому сдвигу влево на m позиций
- •4. Циклический сдвиг вправо на m позиций. Циклическому сдвигу вправо на m позиций
- •Следствие из свойств 3, 4. Инвариантность амплитудного спектра относительно циклических сдвигов. При любом
- •Теперь вычислим модуль от выражения (25).
- •Определение. Под сверткой двух векторов a (a0 , a1, , aN 1 )
- •Доказательство. Дополним векторы a и b нулями, чтобы они имели период 2N .
- •Для удобства введем обозначение
- •В формуле (31) изменен порядок суммирования. В сумме в скобках (31) сделаем замену
- •Теперь учтем, что компоненты векторов a и b отличны от нуля только для
- •Далее, так как al 0, bl 0 для l N – 1, то
- •С учетом формул (34) выражение (33) принимает искомый вид.
- •Здесь F - частота Найквиста, а sn отсчеты дискретного сигнала. Предположим, что дискретный
- •Спектр дискретного сигнала (36) является непрерывной периодической функцией с периодом 2F . На
- •Мы видим, что сумма, стоящая в формуле (38) является ДПФ для последовательности sn
- •Таким образом, дискретный спектр
- •Теперь рассмотрим, как связано дискретное преобразование Фурье со спектром непрерывных сигналов. Спектр непрерывного
- •Тогда спектр S( f ) такого сигнала будет равен интегралу с конечными пределами.
- •В методе прямоугольников интеграл (3) заменяем следующей суммой
- •Сравним формулу (47) с выражением (36) для спектра дискретного сигнала. Мы видим, что
- •Обычно нас интересует спектр, как для положительных значений частоты f 0 ,так и
- •Чтобы сумме в выражении (51) придать вид ДПФ, сделаем
- •Заменим последовательность sn другой
- •Разобьем этот интервал на две части. Рассмотрим сначала правую часть этого интервала
- •Таким образом, мы получили формулу для вычисления половины спектра.
- •Сумма (55) в этом случае примет вид
- •Подставляя (64) в формулы (55), (54) для интервала (61) получаем связь между спектром
Продолжение
Лекции 5
Теорема Котельникова
Для цифровой обработки аналогового сигнала s(t), прежде всего, необходимо преобразовать его в дискретный сигнал. Взяв определенный шаг дискретизации t можно получить дискретный сигнал sn по формуле
sn s( tn ), |
tn n t |
(56) |
|
|
Проблема восстановления непрерывного (аналогового) сигнала по заданному дискретному сигналу решается теоремой отсчетов.
В отечественной литературе эта теорема известна как теорема Котельникова, а в зарубежной – как теорема
Найквиста или теорема Шеннона.
1
Теорема 2. (Теорема отсчетов). Если сигнал s(t) имеет спектр ограниченный полосы, т.е. S(f) = 0 при f > F , то функция s(t) может быть точно восстановлена по своим значениям в точках ,
tk k t, k Z где
t 2F |
(57) |
1 |
при помощи формулы.
|
sin(2 F (t k t)) |
|
s(t) sk |
2 F (t k t) |
(58) |
|
||
k |
|
Введенная здесь частота F называется частотой Найквиста.
2
Доказательство. Выразим сигнал через его спектр
F
s(t) S( f ) ei 2 f t d f S( f ) ei 2 f t d f
F
Тогда с использованием формул (56, 57) получаем выражение для дискретного сигнала
F |
i |
k |
f |
|
|
|
s(k t) S( f ) e |
F |
d f |
(60) |
|||
|
|
|||||
|
|
|
|
F
3
Спектр S(f) , принимающий ненулевые значения только на отрезке f [-F, F] , периодически продолжим (с периодом 2F) на всю ость частот, и полученную в результате периодическую функцию SD ( f ) представим в виде комплексного ряда Фурье.
|
|
|
i |
k |
f |
|
|||
SD ( f ) ck e |
|
|
|
|
|||||
|
F |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
(61) |
|||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
F |
|
i |
k |
f |
|
||
cn |
S( f ) e |
|
d f |
||||||
|
|
|
|
F |
|||||
|
|
F |
|
|
|
|
|
||
|
2F |
|
|
|
|
|
|
|
Здесь учтено, что на интервале [-F, F] спектр S(f) и спектр
совпадают. Сравнивая поученную запись с выражением для s(k t) (60), видим, что
ck |
1 |
s( k t) |
(62) |
|
2F |
||||
|
|
4 |
||
|
|
|
Тогда получаем
|
|
|
1 |
|
i |
k |
f |
|
SD ( f ) |
s( k t) e |
F |
||||||
|
|
|||||||
|
|
|
2F k |
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
(63) |
||
|
|
|
|
|
||||
|
s(k t) e i 2 k t f |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
2F k |
|
|
|
|
Здесь при переходе от первой суммы ко второй была совершена замена
k k
5
Берем формулу для сигнала (59) и заменяем в ней спектр S(f) на спектр SD ( f ) (63)
F
s(t) SD ( f ) ei 2 f td f |
|
(64) |
|||||
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
F |
|
|
|
|
|
|
|
s(k t) e |
i 2 f t |
|
|||
|
|
|
|
i 2 k t f |
|
||
|
|
|
e |
|
d f |
||
2F |
|
||||||
|
F |
|
k |
|
|
|
Меняя в последнем выражении порядок интегрирования и суммирования, имеем
|
1 |
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
i 2 f ( t k t ) |
(65) |
s(t) |
|
s(k t) |
e |
|
d f |
|
|
2F k |
|
F |
|
|
6
Отсюда, учитывая, что интеграл в (65) равен
F |
i 2 f ( t k t ) |
|
|
sin(2 F (t k t)) |
|
|
e |
d f |
|
(66) |
|||
|
2 F (t k t) |
|||||
|
|
|
|
|||
F |
|
|
|
|
получаем утверждение теоремы.
! Доказать справедливость формулы (66).
7
Итак, шаг дискретизации t позволяет точно восстановить аналоговый сигнал, если его спектр ограничен условием
max |
|
f |
|
F |
|
1 |
(67) |
|
|
||||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
max |
|
2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда, окончательно, критерий для выбора шага дискретизации аналогового сигнала при известной максимальной частоте Fmax спектрального представления принимает следующий вид.
t |
1 |
(68) |
2F |
max |
8 |
|
Это условие можно записать через частоту Найквиста F
F Fmax |
(69) |
|
Другими словами, при дискретизации аналогового сигнала частоту Найквиста надо выбирать большей максимальной частоты спектра аналогового сигнала.
! Написать программу в пакете MATLAB для восстановления сигнала с помощью ряда Котельникова . Проведя интегрирование, доказать справедливость формулы (58).
9
Лекция 6
Дискретное преобразование Фурье
Введем два числовых вектора x и X размерности N. |
|
x (x0 , x1, , xN 1 ) |
(1) |
X ( X 0 , X1, , X N 1 ) |
|
Компоненты этих векторов могут быть комплексными числами. Выразим компоненты вектора X через компоненты вектора x с помощью следующей суммы
N 1 |
i |
2 |
k n |
|
X k xn e |
N |
, k 0, 1, , N 1 (2) |
||
|
|
|
||
n 0 |
|
|
|
|
10