Соотношение (2) носит название дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Иногда говорят, что вектор
X ( X 0 , X1, , X N 1 ) |
|
является |
дискретным преобразованием |
, x1, , xN 1 ) |
|
|
x (x0 |
|
вектора |
. |
|
Дискретное преобразование Фурье (2) можно рассматриватьxnкак систему N линейных уравнений для N неизвестных . Если решить эту систему, то вектор x можно выразить через вектор X .
11
Теорема 1. Вектор x (x0 , x1, , xN 1 ) можно восстановить при помощи обратного дискретного преобразования Фурье
(ОДПФ), которое определяется формулой.
|
1 |
N 1 |
2 |
|
(3) |
|
xn |
X k e i |
N |
k n , n 0, 1, , N 1 |
|||
|
|
|||||
|
N k 0 |
|
|
|
||
Доказательство. Подставим ДПФ (2) в формулу (3)
|
1 N 1 |
i |
2 |
k n |
|
1 N 1 |
N 1 |
i |
2 |
k m |
i |
2 |
k n |
(4) |
||
|
N |
|
N |
N |
||||||||||||
xn |
|
X k e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
xm e |
|
|
e |
|
|
|
|
||||
|
N k 0 |
|
|
|
|
N k 0 |
m 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
12
В выражении (4) поменяем порядок суммирования.
N 1 |
|
1 |
N 1 |
i |
2 |
k (n m) |
(5) |
|
|
|
e |
|
N |
|
|
|
N |
|
|
||||
xn xm |
|
|
|
|
|||
m 0 |
|
|
k 0 |
|
|
|
|
Вычислим сумму, стоящую в скобках в формуле (5)
|
1 |
N 1 |
i |
2 |
k (n m) |
(6) |
n, m |
|
e |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
N k 0 |
|
|
|
|
|
Сумма в формуле (6) является суммой геометрической прогрессии.
1 q q |
2 |
q |
N 1 |
|
1 qN |
(7) |
|
|
1 q |
||||
|
|
|
|
|
|
13
Используем формулу суммы геометрической прогрессии (7) для вычисления суммы (6).
|
|
|
1 N 1 |
|
i |
2 |
(n m) |
k |
|
|
1 1 e i 2 (n m) |
|
|||||||||||||
n,m |
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
N k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
N |
1 |
e i N |
(n m) |
(8) |
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
e i (n m) e i (n m) |
e i (n m) |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
N i |
|
|
(n m) i |
|
|
(n m) |
|
|
i |
|
(n m) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
N |
|
|
|
|
N |
|
|
|
e |
|
N |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В последнем выражении применяем формулу Эйлера для синуса
sin (x) ei x e i x 2 i
14
В результате формула (8) принимает вид.
|
|
|
1 |
1 |
|
(n m) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
e |
|
N |
|
sin ( (n m)) |
|
|
||||||
n,m |
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
(n m) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В выражении (9) n и m целые числа принимают следующие значения
n, m 0, 1, , N 1
Поэтому если n m , то синус в числителе равен нулю, а в знаменателе нет.
|
sin ( (n m)) |
0 |
|||
if n m , then |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
sin |
|
(n m) |
0 |
|
|
N |
||||
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, если n m , сумма в выражении (6) равна нулю.
n, m 0, if |
n m |
(10) |
Если же индексы равны друг другу n m , то сумма (6) вычисляется очень просто. В этом случае экспоненты в сумме
(6) будут равны единице. Поэтому получаем:
|
1 |
N 1 |
|
1 |
|
|
|
n, m |
|
1 |
N 1, if |
n m (11) |
|||
|
N |
||||||
|
N k 0 |
|
|
|
|||
Объединяя формулы (10) и (11), мы видим что сумма (6) равна символу Кронекера
n, m n, m |
(12) |
|
16 |
Подставляем (12) в формулу (5), и используем свойство символа Кронекера, сворачивать сумму. В результате получаем
N 1 |
|
|
xn xm n, m |
xn |
(13) |
m 0
Итак, Теорема доказана.
Таким образом, дискретное преобразование Фурье определятся формулами (2) и (3), которые мы объединим вместе.
|
N 1 |
i |
2 |
k n |
|
|
||
X k xn e |
N |
, |
k 0, 1, , N 1 |
|||||
|
|
|
||||||
|
n 0 |
|
|
|
|
(14) |
||
|
1 |
N 1 |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
||||
xn |
X k e i |
N |
k n , |
n 0, 1, , N 1 |
||||
|
||||||||
|
N k 0 |
|
|
|
|
17 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Можно сказать, что вектор x (x0 , x1, , xN 1 ) и вектор ,
X связаны между собой дискретным преобразованием
( X 0 , X1, , X N 1 )
Фурье, что обычно изображают в виде знака.
x X
Дискретное преобразование Фурье и пакет MA
В пакете MATLAB имеются средства для вычисления дискретного преобразования Фурье. Преобразование ДПФ, например, выполняет функция fft(x) . Вызов этой функции осуществляется следующим образом.
X = fft(x);
18
Фрагмент кода программы показывает, как можно получить ДПФ для заданного вектора x , компоненты которого убывают по экспоненциальному закону.
N = 32; n = 1 : N;
x = exp(-0.1*n); X = fft(x);
stem(x);
stem(abs(X));
stem(angle(X));
На рисунках показан результат работы программы.
19
Vector x
1 |
|
|
|
|
0.8 |
|
|
|
|
0.6 |
|
|
|
|
0.4 |
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
00 |
10 |
20 |
30 |
40 |
На первом рисунке выводятся компоненты входящего вектора x
. Видно, что компоненты этого вектора убывают по |
|
экспоненциальному закону. |
|
На горизонтальной оси отложены номера компонентов. |
20 |
|
12 |
|
| X | |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
00 |
10 |
20 |
30 |
40 |
Так как выходящий вектор X является комплексным, то |
||||
на втором рисунке выводится абсолютные значения его |
||||
компонентов (аналог АЧХ). |
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
1.5 |
|
arg(X) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1.50 |
10 |
20 |
30 |
40 |
На третьем рисунке выводятся аргументы его компонентов |
||||
(аналог ФЧХ). |
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|