Лекция 7
Графическая иллюстрация свойств дискретного преобразование Фурье.
Для примера, рассмотрим вектор x, компоненты которого убывают по экспоненциальному закону.
xn e a n , |
a 0, |
n 0, 1, , N 1 (1) |
Совокупность компонент вектора, часто будем называть числовой последовательностью. Пусть период числовой последовательности xn равен N =32 , а коэффициент в экспоненте a = 0.1. График этой последовательности показан на рисунке. На горизонтальной оси отложены номера компонент.
1
Vector x
1 |
|
|
|
|
0.8 |
|
|
|
|
0.6 |
|
|
|
|
0.4 |
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
00 |
10 |
20 |
30 |
40 |
2
Получим дискретное преобразование Фурье (ДПФ) для этого вектора, что символически выражается следующим образом.
x X
Компоненты вектора X вычисляются с помощью следующей суммы
N 1 |
i |
2 |
k n |
|
X k xn e |
N |
, k 0, 1, , N 1 (2) |
||
|
|
|
||
n 0 |
|
|
|
|
Эта сумма называется прямое ДПФ.
3
Последовательность X n , является, вообще говоря, последовательностью комплексных чисел. Поэтому интересно построить графики для модуля и аргумента компонент вектора X .
An |
|
X n |
|
, |
n arg X n |
(3) |
|
|
В формуле (3) первое соотношение является аналогом АЧХ, а второе аналогом ФЧХ. В нашем примере графики амплитуды и аргумента показаны на рисунках.
4
12 |
|
| X | |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
00 |
10 |
20 |
30 |
40 |
5
1.5 |
|
arg(X) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1.50 |
10 |
20 |
30 |
40 |
6
Если ДПФ (2) рассматривать для любых значений индекса k, то обнаруживаются интересные свойства ДПФ.
Во-первых, легко показать, что компоненты ДПФ X0 и X N равны друг другу.
N 1 |
i |
2 |
N n |
N 1 |
|
X N xn e |
N |
xn |
(4) |
||
|
|
|
X 0 |
||
n 0 |
|
|
|
n 0 |
|
На рисунке показана эта ситуация.
7
12 |
|
| X | |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
00 |
10 |
20 |
30 |
40 |
8
На этом рисунке можно увидеть еще одно свойство. График АЧХ симметричен относительно 17-ого элемента. В общем случае такая симметрия имеет место относительно компоненты
с номером |
|
N |
|
|
|
nc |
1 |
(5) |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
если N - четное число (в нашем случае это 32), если N - нечетное число, то такого элемента не существует.
Во-вторых, последовательность ДПФ является периодической последовательностью, с периодом равным числу N .
X n N X n , |
n Z |
(6) |
! Доказать самостоятельно свойство (6).
9
12 |
|
|
| X | |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
00 |
20 |
40 |
60 |
80 |
100 |
10
1.5 |
|
|
arg(X) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1.50 |
20 |
40 |
60 |
80 |
100 |
11