3. Циклический сдвиг влево на m позиций. Циклическому сдвигу влево на m позиций компонент вектора-сигнала, соответствует умножение компонент вектора-сигнала на фазовый множитель.
if
x (x0 , x1, , xN 1 ) y (xm , xm 1, , xN 1, x0 , x1, , xm 1 ),
x X, |
y Y, |
|||
then |
|
|
|
(11) |
|
|
|
|
|
Yn e |
i |
2 |
n m |
X n |
|
N |
|
||
Следствие. Инвариантность амплитудного спектра относительно циклических сдвигов. При любом циклическом сдвиге амплитуда компонентов ДПФ не меняется.
Yn X n
23
Рассмотрим для примера, последовательность, рассмотренную выше (1) у которой компоненты убывают по экспоненциальному закону. Возьмем период равный N = 32 и осуществим сдвиг влево на три позиции m = 3 .
Результат показан на следующих трех рисунках.
24
Vector x
1 |
|
|
|
|
0.8 |
|
|
|
|
0.6 |
|
|
|
|
0.4 |
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
00 |
10 |
20 |
30 |
40 |
25
12 |
|
| X | |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
00 |
10 |
20 |
30 |
40 |
26
4 |
|
arg(X) |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
30 |
10 |
20 |
30 |
40 |
27
Определение. Под сверткой двух векторов a (a0 , a1, , aNи 1 )
b (b0 , b1, , bN 1 )с периодом N , будем понимать вектор
c (c0 , c1, , cN 1 ) с периодом 2N вдвое большим. Компоненты вектора-сверки определяются следующими формулами.
N 1 |
N 1 |
|
ck anbk n ak nbn , |
k 0, , 2N 1 (12) |
|
n 0 |
n 0 |
|
Здесь предполагается, что компоненты векторов a и b равны нулю для следующих значений индексов.
am bm 0, if |
m 0 or |
m N 1 |
(13)
28
Обратим внимание на следующие свойства свертки.
Первое, если периоды векторов a и b одинаковые и равны N , то период свертки будет в два раза больше 2N . На рисунках рассматриваются вектора с периодом N = 4 .
Второе, как легко показать из формул (12), (13) последняя компонента свертки всегда равна нулю.
c2N 1 |
0 |
(14) |
! Доказать самостоятельно свойство (14)
29
6 |
|
|
Vector a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
00 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
30
Vector b
6
5
4
3
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
00 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
31
Vector c
6 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
00 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
32