Третье, если периоды векторов a и b разные и равны N1 и N2, то период свертки будет N1 N2 равен . В этом случае в формуле свертки (12) в качестве периода N надо взять максимальный из двух периодов. На рисунках рассматриваются вектора с периодами N1 4 и N2 6.
33
Vector a
5
4
3
2
1
00 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
34
Vector b
5
4
3
2
1
00 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
35
Vector c
5 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
00 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
36
Свойство ДПФ свертки векторов. Вектор являющийся сверткой двух других векторов имеет ДПФ равный произведению ДПФ исходных векторов.
if
|
|
N 1 |
a A, |
b B, |
ck anbk n , |
|
n 0 |
(28) |
then |
|
|
|
|
|
c C, |
|
|
where |
|
|
Ck Ak Bk |
|
|
Важное замечание!! В этом свойстве векторы a и b дополняются нулями, чтобы они имели период 2N .
a (a |
, a , , a |
N 1 |
, 0, ,0), |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
N |
b (b , b , , b |
, 0, ,0) |
(29) |
|
0 1 |
N 1 |
|
|
N
37
Поэтому ДПФ (2) для всех трех векторов a, b, c строится не по периоду N , а по периоду 2N .
2 N 1 |
|
|
|
2 |
|||
i |
|
|
|
k n |
|||
Ak an e |
2 N |
||||||
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 N 1 |
|
|
2 |
||||
i |
|
|
|
|
k n |
||
Bk bn e |
|
2 N |
|
||||
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 N 1 |
|
|
2 |
||||
i |
|
|
|
k n |
|||
Ck cn e |
2 N |
||||||
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0, 1, , 2N 1 |
(30) |
|
Возьмем два вектора с периодом N = 16 . Пусть первый вектор имеет компоненты, убывающие по экспоненциальному закону.
an e 0.1n , |
n 0, 1, , 15 |
(31) |
38
Пусть компоненты второго вектора имеют вид единичной ступеньки.
1, |
if |
0 n 4, |
(32) |
|
bn |
0, |
if |
5 n 15 |
|
|
|
|||
Эти два вектора дополняем нулями до векторов с периодом 2N = 32 . На рисунках показаны эти векторы и вектор свертки.
39
Vector a
5
4
3
2
1 |
|
|
|
|
|
|
00 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
40
Vector b
5
4
3
2
1 
00 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
41
Vector c
5 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
00 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
42
15 |
|
|
| A | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
00 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
43
| B |
15
10
5 |
|
|
|
|
|
|
00 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
44
45 |
|
|
| C | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
00 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
45
45 |
|
|
| A B | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
00 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
46