Далее разобьем сумму (59) на два слагаемых с четными и нечетными членами. При этом учтем формулы (60), (61), (62).
2n 1 1
y(k) x(2 j) nk 2 j
j 0
2n 1 1
x ( j) k j
0 n 1
j 0
2n 1 1 |
|
|
|
|
x(2 j 1) nk (2 j 1) |
||
|
j 0 |
|
(63) |
|
2n 1 |
1 |
|
|
k |
|
k j |
n x1 |
( j) n 1 |
||
j 0
Две суммы в (63) обозначим следующим образом.
2n 1 1 |
k j |
|
y0 (k) x0 |
|
|
( j) n 1 |
(64) |
|
j 0 |
|
2n 1 1 |
|
k j |
|
y1 (k) x1 ( j) n 1 |
|
j 0 |
77 |
|
Сравнивая соотношения (64) с формулой (59), мы видим, что
первая формула (64) – это ДПФ вектора |
X0 |
размерности |
2n 1 . |
Вторая формула (64) – это ДПФ вектора |
X1 |
размерности |
2n 1 . |
Учитывая (64) формулу (63) можно переписать в следующем виде.
y(k) y0 (k) nk y1 (k) (65)
Далее можно показать, что имеют место следующие соотношения.
78
nk 2n 1 |
nk |
(66) |
|
y0 (k 2n 1 ) y0 (k) |
|||
|
|||
y (k 2n 1 ) y (k) |
|
||
1 |
1 |
|
|
! Доказать самостоятельно соотношения (66).
Сделаем в (65) замену k k 2n 1 и воспользуемся свойствами (66). В результате получим
y(k 2n 1 ) y0 (k) nk y1 (k) |
(67) |
79
Объединим формулы (65), (67)
y(k) y |
(k) k y (k) |
|
0 |
n 1 |
|
y(k 2n 1) y0 (k) nk y1(k) |
(68) |
|
k 0, 1, , 2n 1 |
|
|
Подведем некоторый итог. При помощи уравнений (68) мы выразили коэффициенты ДПФ размерности 2n
Y y(0), y(1), , y(2n 1) |
(69) |
80
через коэффициенты ДПФ размерности 2n 1 .
Y0 |
y0 (0), y0 (1), , y0 (2n 1 1) |
|
(70) |
Y1 |
y1 (0), y1 (1), , y1 (2n 1 1) |
|
|
|
|
Таким образом, вычисление 2n - точечного ДПФ можно
осуществить, выполнив предварительно два |
2n 1 |
- точечных |
|
ДПФ. |
|
|
|
Вычисление спектров Y0 и Y1 размерности 2n 1 |
требует |
||
около 22(n 1) |
комплексных умножений в каждом случае, |
||
всего 22n 1 |
комплексных умножений. Еще |
2n 1 |
|
умножений требуется выполнить далее при дальнейшей реализации уравнений (68).
81
Итого, реализация ДПФ размерности |
2n с использованием |
уравнений (68) потребует порядка 22n 1 |
2n 22n 1 |
операций комплексного умножения. При непосредственном |
|
использовании соотношений (59) для реализации ДПФ той же |
|
размерности требуется 22n |
операций умножения, т.е. |
|
|
примерно в два раза больше. |
|
||
Другими словами на одном шаге использования уравнений |
|||
(68) быстрота расчета возрастает примерно в два раза. |
|
||
В рассмотренном случае, мы перешли от ДПФ размерности |
|||
к двум ДПФ размерности |
. Теперь можно от ДПФ |
2n |
|
размерности |
|
n 1 |
, и |
перейти к двум ДПФ размерности |
|||
т.д. |
2 |
2n 2 |
|
2n 1 |
|
||
82
В общем случае для ДПФ размерности 2n операция сведения к двум ДПФ меньшей размерности выполняется n раз. Такая процедура называется быстрым преобразованием Фурье (БПФ).
Несложный анализ показывает, что в алгоритме БПФ имеется
около |
комплексных умножений, вместо |
при |
2 |
2 n |
|
|
n 2 |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
непосредственной реализации ДПФ по формуле (59). Так, для
размерности |
N 2 |
10 |
выигрыш в сокращении числа |
|
|
1024 |
вычислительных операций – около 200 раз.
83