Spectrum arg( S ) 3 
2
1
0
1
2
3
16 |
8 |
0 |
8 |
16 |
|
|
n |
|
|
67
Изменим нумерацию компонент дискретного сигнала , чтобы это было похоже на последовательность, для которой можно найти ДПФ.
~ |
s |
|
, |
n 0, , N 1 |
(53) |
sn |
N |
||||
|
n |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
найдем ДПФ. |
|
Для последовательности sn |
|
||||
~ |
N 1~ |
i |
2 |
n k |
, k 0, , N 1 |
(54) |
|
||||||
N |
||||||
Sk sn e |
|
|
|
|||
n 0
68
Вместо спектра заданного формулой (51) рассмотрим спектр, полученный с помощью ДПФ (54)
~ |
|
1 ~ |
||
S |
( fk ) |
|
Sk , k 0, , N 1 (55) |
|
2F |
||||
|
|
|
||
Построим график спектра (55). На следующих рисунках показаны графики АЧХ и ФЧХ, построенные по формулам (54), (55).
69
Spectrum | S |
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
00 |
8 |
16 |
24 |
32 |
|
|
n |
|
|
70
Spectrum arg( S ) 3 
2
1
0
1
2
3
0 |
8 |
16 |
24 |
32 |
|
|
n |
|
|
71
Простой анализ показывает, что связь между компонентами дискретного спектра (51) непрерывного сигнала и ДПФ (54) осуществляется простыми формулами
S( fk ) 1 e |
i |
2 |
|
|
N |
1 |
|
|
k 0, 1, , N |
|
||||||||||||
|
N |
|
|
2 |
|
X k , |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
(56) |
||||||
S( fk N ) 1 e |
|
|
2 |
|
|
|
N |
|
|
|
k N 1, , N 1 |
|||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
N |
|
|
2 |
|
|
|
X k , |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
! Доказать самостоятельно первую формулу (56).
72
Быстрое преобразование Фурье (БПФ)
Для быстрой спектральной обработки сигналов, надо иметь алгоритмы быстрого вычисления дискретного преобразования Фурье. Здесь мы рассмотрим один из таких алгоритмов.
Запишем ДПФ в следующем виде:
N 1 |
i |
2 |
k j |
|
y(k) x( j) e |
N |
, k 0, 1, , N 1 (57) |
||
|
|
|
||
j 0 |
|
|
|
|
73
В этом алгоритме важным моментом является число членов N суммы (57). Рассмотрим ДПФ размерности N 2n. Введем обозначение:
|
i |
2 |
(58) |
|
n exp |
2n |
|
||
|
|
|
|
|
Тогда ДПФ примет вид.
2n 1 |
|
y(k) x( j) nk j , |
k 0, 1, , 2n 1 (59) |
j 0 |
|
74
Для вычисления каждого коэффициента y(k) , как легко видеть, требуется около 2n комплексных сложений с умножениями. Итого, для реализации (59) требуется около
2n 2n 22n комплексных сложений с умножениями.
Введем вектор
X0 x(0), x(2), , x(2n 2) x0 (0), x0 (1), , x0 (2n 1 1) (60)
который является вектором четных отсчетов вектора X.
75
Введем вектор:
X1 x(1), x(3), , x(2n 1) x1 (0), x1 (1), , x1 (2n 1 |
1) (61) |
который является вектором нечетных отсчетов вектора X. Учтем следующее соотношение
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||
n |
exp |
i |
|
2 |
|
exp |
i |
|
|
n 1 |
(62) |
|
2n |
2n 1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
76