X0
X1
Граф вычислений ДПФ, по формуле (66,Л-7) |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
при N=8 |
~ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x(0) x0 (0) |
|
|
|
|
y0 |
(0) |
|
|
|
|
y(0) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
x(2) x0 (1) |
|
|
4-точ. |
|
y0 (1) |
|
|
|
|
y(1) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
ДПФ |
|
y0 |
|
|
|
|
|
y |
|
x(4) |
x (2) |
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
~(2) |
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
x |
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
||
(6) |
|
|
(3) |
|
|
|
|
y |
(3) |
|
03 1 |
~(3) |
Y |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x(1) x1(0) |
|
|
|
|
y1 |
(0) |
|
|
|
|
y(4) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|||
x(3) x1(1) |
|
|
4-точ. |
|
y1 |
(1) |
|
|
|
|
y(5) |
|
|||
|
|
|
|
23 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|||
x(5) x1(2) |
|
|
ДПФ |
|
y1 |
(2) |
|
|
|
|
y(6) |
|
|||
|
|
|
|
33 |
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|||
x(7) x1(3) |
|
|
|
|
y1 |
(3) |
|
|
|
|
y(7) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Условныеобозначения: a a b
a |
|
c |
ca |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
умножени |
b |
a b |
|
|||
|
|
|
|
|
Cлложениевычитани |
1 |
|
Граф быстрого вычисления 8-точечного ДПФ
4 точечноеДПФ
|
x(0) |
10 |
Y0,0 |
|
|
|
x(4) |
|
|
||
|
2 точ.ДПФ |
|
02 |
Y0 |
|
|
x(2) |
|
|||
|
10 |
Y0,1 |
2 |
|
|
X |
x(6) |
03 |
|||
|
x(1) |
10 |
Y1,0 |
|
3 |
|
x(5) |
|
|||
|
2 точ.ДПФ |
|
02 |
Y1 03 |
|
|
x(3) |
|
|||
|
10 |
Y1,1 |
2 |
33 |
|
|
x(7) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 точечноеДПФ |
|
||
y(0) 
y(1) 
y(2) 
y(3) 
y(4) 
Y y(5) 
y(6) 
y(7) 
Шаг1 |
Шаг2 |
Шаг3 |
|
||
|
|
2
Как видно из формулы (68, Л-7) и примеров, приведенных на рисунках, базовой операцией БПФ на j-ом шаге является так называемая «бабочка»
Элементарные операции алгоритма БПФ на j-м шаге
a |
|
|
a |
|
k |
|
|
||||
|
|
|
|
b j |
|
b |
jk |
a |
b jk |
||
|
|
||||
j 1,...,n (номер шага) |
k 0,...,2j 1 1 |
|
|||
Алгоритм БПФ, основанный на рекуррентном использовании |
|||||
формулы (68, Л-7) называется алгоритмом БПФ |
|
с |
|||
прореживанием во времени, т.к. вычисление ДПФ размерности
N сводится к обработке векторов |
X0, X1 |
, полученных |
«прореживанием»(выбором каждого второго отсчета, только |
|
четных или только нечетных номеров) вектора X . |
3 |
|
Лекции 8
Аналоговая обработка сигналов
Например, в основе многих методов проектирования дискретных фильтров лежат методы проектирования аналоговых фильтров. Поэтому квалифицированное применение этих методов требует знакомства с теорией аналоговых систем.
Систему обработки сигнала представим в виде схемы
x(t) |
Система обработки |
y(t) |
|
|
|
сигнала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
Классификация систем
Системы, используемые для преобразования сигналов, имеют самые разные физические свойства. Важнейшим свойством системы является линейность или нелинейность системы.
Система называется линейной, если для нее выполняется принцип суперпозиции. Этот принцип означает следующее. Реакция системы на сумму сигналов равна сумме реакций на отдельные сигналы.
if |
|
|
|
x1(t) y1 (t), |
x2 (t) |
y2 (t) |
|
then |
|
|
(1) |
x1 (t) x2 (t) |
|
y1 (t) y2 (t) |
|
5
Система, для которой не выполняется принцип суперпозиции, называется нелинейной системой.
Например, для системы с квадратичной нелинейностью, преобразование суммы сигналов будет следующим.
x1 (t) x2 (t) |
|
y1 (t) y2 (t) 2 x1 (t) x2 (t) (2) |
Доказать самостоятельно соотношение (2).
6
Следующим важным свойством системы является
постоянство или непостоянство во времени характеристик системы.
Если произвольная задержка по времени во входном сигнале приводит лишь к такой же задержки в выходном сигнале, не меняя его формы, то система называется стационарной, или системой с постоянными параметрами.
if |
|
|
x(t) |
y(t) |
(3) |
then |
|
|
|
|
|
x(t t0 ) |
|
y(t t0 ) |
7
В противном случае, система называется нестационарной,
параметрической или системой с переменными параметрами. В дальнейшем мы будем рассматривать линейные стационарные системы, или как их еще называют линейные системы с постоянными параметрами (ЛПП).
Характеристики линейных систем
Мы рассматриваем ЛПП системы. Для таких систем справедливы принципы суперпозиции и стационарности.
Это сильно упрощает анализ прохождения сигналов через такие системы.
8
Импульсная характеристика системы
Линейность и стационарность позволяют легко найти реакцию системы на любой входной сигнал, зная всего лишь одну функцию. Эта функция называется импульсной характеристикой системы h(t) , и связывает входящий и выходящий сигнал следующей формулой.
|
|
y(t) h(t ) x(t t ) dt |
(4) |
|
|
|
|
9
Так как входящий сигнал x(t) и выходящий сигнал y(t) связаны линейным соотношением (4) , то рассматриваемая система, очевидно, является линейной. Покажем, что соотношение (4) удовлетворяет условию стационарности. Подадим на вход системы сигнал, сдвинутый на время T.
xT (t) x(t T ) |
(5) |
|
Если система стационарна, то на выходе должен появится сдвинутый сигнал
yT (t) y(t T ) |
(6) |
|
10
Подставим (5) в формулу (4) и получим сигнал на выходе системы
|
|
yout (t) h(t ) xT (t t ) dt h(t ) x(t T t ) dt y(t T ) (7) |
|
|
|
Таким образом, сигнал на выходе совпадает со сдвинутым сигналом (6).
Подадим на вход системы сигнал в виде дельта-функции. Используя свойство дельта-функции сворачивать интеграл,
получим на выходе следующий сигнал.
|
x(t) (t), |
(8) |
|
|
|
||
|
|||
y(t) h(t ) x(t t ) d t h(t ) (t t ) d t h(t) |
|
||
|
|
11 |
|
|