Поэтому, импульсная характеристика рана нулю для отрицательных значений аргумента.
Таким образом, для любой физически реализуемости ЛДФ
импульсная характеристика должна удовлетворять условию.
h(k) 0, |
k 0 (41) |
Линейный дискретный фильтр часто обозначают в виде схемы
x(n) |
h(n) |
y(n) |
|
|
|
|
|
На этой схеме обозначены входящий сигнал, импульсная
характеристика и выходящий сигнал.
42
Устойчивость ЛДФ
Определение. Линейный дискретный фильтр называется устойчивым, если для любого ограниченного входящего сигнала, выходящий сигнал также ограничен.
if |
|
|||||
|
x(n) |
|
|
|
C1 , |
n 0, 1, , |
|
|
|||||
then |
|
|||||
|
y(n) |
|
C2 , |
n 0, 1, |
||
|
|
|||||
Здесь C1, C2 - некоторые константы.
43
Теорема 1. Необходимым и достаточным условием устойчивости ЛДФ, является выполнение условия.
h(k) C3 (42)
k 0
Здесь C3 - некоторая константа
Доказательство. Достаточность устойчивости ЛДФ. Из условия (42) надо доказать устойчивость выходного сигнала.
Пусть выполняется условие теоремы (42). Найдем выходящий |
||
сигнал |
|
|
|
|
|
|
y(n) h(k) x(n k) |
(43) |
|
|
|
|
k 0 |
|
44
Будем считать, что входящий сигнал для отрицательных «времен» равен нулю.
x(n) 0, |
n 0 |
(44) |
Тогда для фиксированного n бесконечный ряд (43) заменяется суммой.
|
|
|
|
n |
|
|
|
(45) |
||||||
|
|
|
|
y(n) h(k) x(n k) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возьмем модуль от уравнения (45). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
y(n) |
|
|
h(k) x(n k) |
|
|
|
h(k) |
|
|
|
x(n k) |
|
(46) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
k 0 |
|
k 0 |
45 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Учтем ограниченность входящего сигнала.
|
|
|
x(n) |
|
|
|
|
C1 , |
|
|
n 0, 1, |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Тогда соотношение (46) принимает вид |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
n |
n |
|
|||||||||||||||||
y(n) |
|
|
|
h(k) |
|
|
|
x(n k) |
|
|
|
h(k) |
|
C1 C1 |
|
|
h(k) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
k 0 |
k 0 |
k 0 |
|||||||||||||||||
Учитывая условие теоремы (44) окончательно получаем
y(n) C1 h(k) C1C3 C2
k 0
(47)
(48)
Соотношение (48) означает, что выходящий сигнал ограниченный.
Достаточность доказана.
46
Необходимость устойчивости ЛДФ. Из устойчивости выходящего сигнала надо доказать выполнения условия (42).
Доказывать будем от противного. Допустим, что ЛДФ устойчив, а вот условие (42) не выполняется. Т.е. имеет место соотношение:
|
|
|
h(k) |
|
(49) |
k 0
Фиксируем число n. Рассмотрим ограниченный входящий сигнал равный 1 и заданный по следующему правилу.
1 |
if |
h(k) 0, |
|
|
x(n k) |
1 |
if |
h(k) 0 |
(50) |
|
|
|||
47
Тогда в сумме (45) все члены положительные. |
|
h(k) x(n k) 0 |
(51) |
Возьмем модуль от уравнения (45). Учтем условие (51). Теперь в отличии от соотношения (46) вместо неравенства получится равенство.
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|||||||||||
y(n) |
|
|
h(k) x(n k) |
|
|
|
h(k) x(n k) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
k 0 |
k 0 |
(52) |
|
|
|||||||||||
|
|
|
n |
n |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
h(k) |
|
|
|
x(n k) |
|
|
|
h(k) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
k 0 |
k 0 |
|
|
|
||||||||||||
Здесь мы учли, что модуль входящего сигнала равен единице.
x(n k) 1
48
Если теперь в уравнении (52) устремить число n к бесконечности, то благодаря условию (45) выходной сигнал тоже будет стремиться к бесконечности
|
|
n |
|
|
|
||
y(n) |
|
|
|
h(k) |
|
|
if n |
|
|
|
|||||
|
|
k 0 |
|
|
|
||
Это противоречит предположению об устойчивости выходного сигнала. Необходимость доказана
Таким образом, устойчивость ЛДФ определяется условием, накладываемым на его импульсную характеристику.
h(k) (53)
k 0
На рисунках приведены импульсные характеристики |
|
устойчивого и неустойчивого фильтров. |
49 |
|
3 |
|
h(n) |
|
|
|
|
|
|
|
2.5 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1.5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
00 |
5 |
10 |
15 |
20 |
|
|
n |
|
|
50
3 |
|
h(n) |
|
|
|
|
|
|
|
2.5 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1.5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
00 |
5 |
10 |
15 |
20 |
|
|
n |
|
|
51