Основное уравнение ЛДФ
Напомним, что для аналоговой линейной системы с постоянными параметрами (ЛПП) основным уравнением является дифференциальное уравнение (20). Для линейного дискретного фильтра (ЛДФ) основным уравнением будет аналогичное разностное уравнение.
aN y(k N ) a1 y(k 1) a0 y(k) (54)bM x(k M ) b1 x(k 1) b0 x(k)
В этом разностном уравнении ai ,bi , - постоянные коэффициенты.
Отметим, что в отличие о аналогового случая, здесь нет ограничений на величину чисел N и M.
52
Рекурсивные и нерекурсивные фильтры
Предположим, что a0 1 , и уравнение (54) перепишем в виде.
N |
M |
y(k) an y(k n) bm x(k m) (55) |
|
n 1 |
m 0 |
В зависимости от структуры разностного уравнения (55) различают два больших класса фильтров: рекурсивные и нерекурсивные фильтры.
Если в уравнении (55) все коэффициенты в первой сумме равны нулю
an 0, n 1, 2, , N
53
то такой фильтр называется нерекурсивным. Уравнение нерекурсивного фильтра будет иметь вид.
M
y(k) bm x(k m) (56)
m 0
Уравнение (56) показывает, что для нерекурсивного фильтра текущее значение выходного сигнала y(k) зависит только от текущего x(k) и предшествующих x(k - m) значений входного сигнала.
Если в уравнении (55) хотя бы один коэффициенты в первой сумме не равен нулю, то такой фильтр называется рекурсивным. Рекурсивный фильтр описывается уравнением (55), где обе суммы отличны от нуля.
54
Уравнение (55) показывает, что для рекурсивного фильтра текущее значение выходного сигнала y(k) зависит не только от текущего x(k) и предшествующих x(k - m) значений входного сигнала, но и от предшествующих значений выходного сигнала y(k-n). Другими словами, у рекурсивных фильтров существует обратная связь.
Это приводит к тому, что рекурсивные фильтры могут быть неустойчивыми. Поэтому условие устойчивости (53) для таких фильтров может не выполняться.
Пример 1. Рассмотрим рекурсивный фильтр, который описывается следующим разностным уравнением.
y(n) a y(n 1) x(n) |
(57) |
55
Подадим на вход фильтра единичный импульс.
x(n) n,0 |
|
(58) |
|||
Найдем отклик (выходной сигнал): |
|
|
|||
y(0) a y( 1) x(0) |
a 0 1 1 |
|
|||
y(1) a y(0) |
x(1) |
a1 0 |
a |
(59) |
|
y(2) a y(1) |
x(2) |
aa 0 |
a2 |
||
|
|||||
|
|
|
|
|
|
y(n) an
Если теперь вспомнить, что отклик ЛДФ на единичный импульс равен частотной характеристики, то мы нашли частотную характеристику данного рекурсивного фильтра.
h(n) an , n 0,1, (60)
56
Рассмотрим критерий устойчивости (53) для данного фильтра. Вычислим сумму
n |
|
|
|
n |
|
n |
|
||
Sn |
|
h(k) |
|
|
|
a |
|
(61) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
k 0 |
|
|
|
||
Сумма (61) является суммой геометрической прогрессии, результат для которой хорошо известен.
1 |
q q |
2 |
q |
n |
|
1 qn |
(62) |
|
|
1 q |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
57
Используя формулу геометрической прогрессии (62) находим сумму (61)
Sn |
|
1 |
|
a |
|
n |
(63) |
|||
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||
1 |
|
a |
|
|||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если теперь устремить n к бесконечности, то сумма (63) будет иметь конечное значение для |a| < 1 .
Таким образом, рассматриваемый рекурсивный фильтр будет
устойчивым для |a| < 1 , и неустойчивым для |a| 1. Эти два случая, кстати, изображены на последних двух
рисунках.
58
Z – преобразование
Удобным математическим аппаратом решения дифференциального уравнения (20) является преобразование Лапласа. Точно так же для решения разностных уравнений (55), удобно применять Z – преобразование. Можно сказать, что Z – преобразование играет для дискретных сигналов и систем такую же роль, как преобразование Лапласа – для аналоговых сигналов и систем.
Определение. Z – преобразованием числовой последовательности
x(n), n 0,1,
является функция комплексной переменно X(z). Эта функция определяется следующим образом.
59
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z) x(n) z n , |
если |
|
z |
|
r, |
(64) |
|
|
|||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
X (z) |
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аналитическое продолжение (z) в круг |
|
z |
|
r |
||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь радиус круга определяется как верхний предел
r |
lim |
n |
|
x(n) |
|
(65) |
|
|
|||||
n |
|
|
|
|
||
|
|
|
||||
Символически связь между Z – преобразованием и числовой последовательностью обозначим, так же как и для преобразования Фурье.
X (z) x(n)
60
Функция (z), фигурирующая в определении (64) является частным случаем ряда Лорана, который в общем случае представляет собой следующий ряд
|
|
f (z) cn (z z0 )n |
(66) |
n
где z0 - точка комплексной плоскости, cn - комплексные числа.
Вспомним теорему из теории рядов Лорана.
61