Таким образом, на выходе получился сигнал, совпадающий с импульсной характеристикой h(t). Поэтому импульсную характеристику называют так же реакцией системы на сигнал в виде дельта-функции.
Сделаем в формуле (4) замену переменной интегрирования.
t t t
В результате получим:
|
|
y(t) h(t ) x(t |
t ) dt x(t ) h(t t ) dt (9) |
|
|
Формула (9) определяет свертку двух функций. Другим словами, выходной сигнал в ЛПП системе является сверткой входного сигнала и импульсной характеристики.
12
Условие физической реализуемости систем
Любая физически реализуемая система должна удовлетворять свойству причинности – выходная реакция не может возникнуть раньше входного сигнала. Пусть, например, входной сигнал отсутствовал до момента времени T.
x(t) 0, |
t T |
Тогда используя формулу (9) получаем.
|
|
y(t) x(t ) h(t t ) dt |
(10) |
|
|
T |
|
13
Свойство причинности требует, чтобы для t < T выходной сигнал был бы равен нулю y(t) = 0. Поэтому положим в (10) t < T . Тогда интеграл (10) должен быть равен нулю. Входной сигнал не равен нулю. Поэтому должна равняться нулю импульсная характеристика.
h(t t ) 0, |
t T |
(11) |
Обозначим аргумент импульсной характеристики |
t t . |
|
Сложим два неравенства. |
|
|
t T plus |
t T |
|
then |
|
|
0 |
|
|
14
Поэтому, импульсная характеристика рана нулю для отрицательных значений аргумента.
Таким образом, для любой физически реализуемой системы импульсная характеристика должна удовлетворять условию.
h(t) 0, |
t 0 (12) |
15
Комплексный коэффициент передачи
Выходной сигнал линейной системы, как было показано выше (9), представляет собой свертку входного сигнала и импульсной характеристики. Преобразование Фурье от свертки дает произведение спектров сворачиваемых сигналов.
Поэтому если рассмотреть преобразование Фурье входного
и выходного сигналов. |
|
|
X ( ) x(t)e i t d t, |
(13) |
|
|
|
|
Y( ) y(t)e i t d t,
16
Тогда уравнению свертки (9) будет соответствовать следующее уравнение для Фурье образов.
Y ( ) K( )X ( ) (14)
Здесь K( ) является преобразованием Фурье импульсной характеристики системы.
|
i t |
|
|
|
K( ) h(t) e |
d t |
(15) |
||
|
||||
|
|
|
Эта функция называется комплексным коэффициентом передачи системы. Для математического удобства мы здесь вместо частоты f используем циклическую частоту .
17
Связь между Фурье - образами (14) мы будем изображать в виде схемы.
X( ) |
|
Y( ) |
||
K( ) |
||||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Модуль и фазу комплексного коэффициента передачи называют амплитудно-частотной (АЧХ) и фазово-частотной
(ФЧХ) характеристиками системы.
AK ( ) |
|
K ( ) |
|
, |
(16) |
|
|
||||
|
|
||||
K ( ) arg K ( ) |
|
||||
18
Используя свойства комплексных чисел из уравнения (14) можно получить следующие соотношения.
AY ( ) AK ( ) AX ( ) |
(17) |
Y ( ) K ( ) X ( ) |
|
Соотношения (17) означают следующее. Для заданной частоты АЧХ системы показывает, во сколько раз изменяется амплитуда сигнала, а ФЧХ системы показывает, на какую величину сдвигается фаза сигнала.
На рисунках показаны сигнал на входе ЛПП системы и на выходе.
19
|
|
|
Signal |
x(t) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1.5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1.5 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0.6 |
0.4 |
0.2 |
0 |
0.2 |
0.4 |
0.6 |
|
|
|
t (c) |
|
|
|
20
|
|
|
Signal |
y(t) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1.5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1.5 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0.6 |
0.4 |
0.2 |
0 |
0.2 |
0.4 |
0.6 |
|
|
|
t (c) |
|
|
|
Частота гармонического сигнала выбрана равной f = 2 Гц. АЧХ и
ФЧХ системы на этой частоте оказались равными следующим |
|
|||
величинам. |
AK ( ) 2, |
K ( ) |
|
|
|
6 |
21 |
||
|
|
|
||
|
|
|
|
|