Фазовая и групповая задержка системы
При преобразовании сигнала линейной системой различают два вида задержки.
Фазовая задержка (phase delay) на частоте - это задержка гармонического сигнала с частотой , проходящего через систему. Время фазовой задержки определяется формулой.
ph ( ) |
K ( ) |
(18) |
|
|
|||
|
|
На приведенном выше рисунке для гармонического сигнала с частотой f = 2 Гц, время фазовой задержки равно.
ph ( ) / 6 1 0.042 c 2 f 24
22
Групповая задержка (group delay) на частоте - это задержка огибающей узкополосного сигнала со средней частотой , проходящего через систему. Время групповой задержки определяется производной.
d K ( ) |
(19) |
gr ( ) |
d |
|
На рисунках показано прохождение узкополосного сигнала через ЛПП систему.
23
1.5 |
|
|
Signal |
x(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1.5 |
0.4 |
0.2 |
0 |
0.2 |
0.4 |
0.6 |
0.6 |
||||||
|
|
|
t (c) |
|
|
|
24
1.5 |
|
|
Signal |
y(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1.5 |
0.4 |
0.2 |
0 |
0.2 |
0.4 |
0.6 |
0.6 |
||||||
|
|
|
t (c) |
|
|
|
Групповая задержка системы на этой частоте, как видно из
рисунка, оказалась равной gr |
0.2 c. |
|
25 |
Основное уравнение ЛПП системы
Очень часто линейную систему с постоянными параметрами (ЛПП) реализуют в виде линейной цепи с сосредоточенными параметрами (емкости, индуктивности и т.д.).
В этом случае связь между входным x(t) и выходным y(t) сигналами может быть выражена в виде дифференциального уравнения.
a |
d n y |
a |
|
d n 1 y |
a |
d y |
a |
|
y(t) |
|
||
n dt n |
|
dt n 1 |
|
|
(20) |
|||||||
|
|
n 1 |
|
1 dt |
|
0 |
|
|
||||
|
|
b |
d m x |
b |
d m 1 x |
b |
dx |
b x(t) |
||||
|
|
|
m 1 dt m 1 |
dt |
||||||||
|
|
|
m dt m |
|
|
|
1 |
0 |
||||
В этом дифференциальном уравнении ai ,bi |
, - постоянные |
|||||||||||
коэффициенты. Кроме того, должно выполняться условие m n .
Значение n называют порядком цепи.
26
Функция передачи системы
Дифференциальное уравнение (20) обычно решают, используя преобразование Лапласа
|
s t |
|
|
|
F(s) f (t) e |
dt |
(21) |
||
|
||||
|
|
|
||
0 |
|
|
|
Здесь s – комплексное число, а функция f(t) удовлетворяет условию f(t) = 0 для t < 0. Функцию f(t) называют оригиналом, а функцию F(s) –изображением Лапласа. Символически связь между изображением и оригиналом обозначим, так же как и для преобразования Фурье.
F(s) f (t)
27
Среди различных свойств преобразования Лапласа, отметим свойство о производной оригинала.
Изображение первой производной оригинала определяется следующим выражением
f (t) sF(s) f (0) |
(22) |
Изображение n – ой производной оригинала определяется следующим выражением
f (n) (t) sn F(s) sn 1 f (0) sn 2 |
f (0) f (n 1) (0) (23) |
28
Рассмотрим решение дифференциального уравнения (20) с нулевыми начальными условиями.
x(0) |
|
x |
(n 1) |
(0) |
0, |
(24) |
x (0) |
|
|||||
y(0) y (0) |
y(n 1) (0) |
0 |
|
|||
Тогда применение преобразования Лапласа к обеим частям уравнения (20) даст следующее алгебраическое уравнение.
ansnY (s) an 1sn 1Y (s) a1sY (s) a0Y (s)
(25)
bmsm X (s) bm 1sm 1X (s) b1sX (s) b0 X (s)
29
Решение уравнения (25) можно представить в виде:
Y (s) H (s)X (s) (26)
Здесь H(s) называется функцией передачи и определяется формулой.
|
b sm b |
|
sm 1 |
b s b |
(27) |
|||
H (s) |
m |
|
m 1 |
|
1 |
0 |
||
a |
sn a |
n 1 |
sn 1 |
a s a |
0 |
|
||
|
n |
|
|
|
1 |
|
||
30
Рассмотренный выше, комплексный коэффициент передачи
получается из функции передачи путем замены аргумента.
s i ,
(28)
K ( ) H (i )
Здесь i - мнимая единица.
Доказать самостоятельно соотношение (28).
Таким образом, для ЛПП системы комплексный коэффициент передачи вычисляется по формуле.
|
b (i )m b |
m 1 |
(i )m 1 |
b (i ) b |
|
||||
K ( ) |
m |
|
|
1 |
0 |
(29) |
|||
a |
(i )n a |
n 1 |
(i )n 1 |
a (i ) a |
0 |
||||
|
|
||||||||
|
n |
|
|
|
1 |
|
|||
31