Нули и полюсы функция передачи системы

Разложив числитель и знаменатель функции передачи (27) на элементарные множители, мы получаем функцию передачи в следующем виде.

Здесь k bm / an - коэффициент усиления (gain). zi – нули функции передачи (zero), pi - полюсы функции передачи (pole). В точках нулей H (zi ) 0, а в точках полюсов H ( pi ) .

32

Для восстановления импульсной характеристики h(t) по

заданной функции передачи H(s) надо использовать обратное преобразование Лапласа. Для нахождения обратного преобразования Лапласа обычно используется теория вычетов, связанная с полюсами функции передачи. Разбор способов нахождения вычетов, мы оставим до рассмотрения теории Z - преобразования.

33

Линейные дискретные фильтры

Линейный дискретный фильтр (ЛДФ) или линейная дискретная система (ЛДС) – это произвольная система обработки дискретного сигнала, обладающая свойством линейности и стационарности. На входе ЛДФ имеем входящую дискретную последовательность x(n), n = 0, 1, … , на выходе – выходящую последовательность y(n), n = 0, 1, … .

Систему обработки сигнала представим в виде схемы

34

Свойство линейности и стационарности ЛД

Система называется линейной, если для нее выполняется принцип суперпозиции. Реакция системы на сумму сигналов равна сумме реакций на отдельные сигналы.

if x1(n) y1(n), x2(n) y2 (n)

(31)

then x1(n) x2 (n) y1(n) y2 (n)

Если произвольная задержка «по времени» (по индексу) во входном сигнале приводит лишь к такой же задержки в выходном сигнале, не меняя его формы, то система называется

стационарной, или системой с постоянными параметрами.

Импульсная характеристика ЛДФ

Линейность и стационарность позволяют легко найти реакцию системы на любую входящую последовательность, зная всего лишь одну дискретную функцию. Эта функция называется импульсной характеристикой дискретной системы h(n) , и связывает входящий и выходящий сигнал следующей формулой.

y(n) h(k) x(n k) (33)

k

36

Так как входящий сигнал x(n) и выходящий сигнал y(n) связаны линейным соотношением (4) , то рассматриваемая система, очевидно, является линейной. Покажем, что соотношение (4) удовлетворяет условию стационарности. Подадим на вход системы сигнал, сдвинутый «на время» .

xn0 (n) x(n n0 ) (34)

Если система стационарна, то на выходе должен появится сдвинутый сигнал

37

h(k) x(n n0 k) y(t n0 )

k

Таким образом, сигнал на выходе совпадает со сдвинутым сигналом (35).

Подадим на вход системы единичный импульс в виде символа Кронекера. Используя свойство символа Кронекера сворачивать сумму, получим на выходе следующий сигнал.

Таким образом, на выходе получился сигнал, совпадающий с импульсной характеристикой h(n). Поэтому импульсную характеристику называют так же реакцией системы на единичный импульс.

Сделаем в формуле (33) замену индексов суммирования.

Мы видим, что формула (38) определяет дискретную свертку двух последовательностей. Другим словами, выходной сигнал в ЛДФ является дискретной сверткой входного сигнала и

импульсной характеристики.

39

Условие физической реализуемости ЛДФ

Любая физически реализуемая система должна удовлетворять свойству причинности – выходная реакция не может возникнуть раньше входного сигнала. Пусть, например, входной сигнал отсутствовал до «момента времени» . n0

x(n) 0, n n0

Тогда используя формулу (40) получаем.

40

Свойство причинности требует, чтобы для n n0 выходной сигнал был бы равен нулю y(n) = 0. Поэтому положим в (39)

n n0 . Тогда интеграл (39) должен быть равен нулю. Входной сигнал не равен нулю. Поэтому должна равняться нулю импульсная характеристика.

h(n m) 0, m n0 (40)

Обозначим аргумент импульсной характеристики n – m = k. Сложим два неравенства.

n n0 plus m n0