Лекция 3
сновные понятия функционального анали
Линейное пространство
Линейное пространство (ЛП) – множество элементов E произвольной природы, для которых определены операции сложения и умножения на скаляр, удовлетворяющие следующим аксиомам:
A1. x, y E |
x y y x |
|
|
A2. x, y, z E |
(x y) z x ( y z) |
|
|
A3. |
x E, 0 E |
x 0 x |
|
A4. |
x E, , R |
( x ) ( ) x |
|
A5. |
x E, , R |
( ) x x x |
|
A6. |
x, y E, R |
( x y ) x y |
|
A7. x E |
0 x 0, 1 x x |
1 |
|
|
|
|
|
Множество M E линейного пространства Е называется линейным многообразием, если М включает в себя все линейные комбинации всех своих элементов.
То есть
x, y M , , R : ( x y) M
Линейное нормированное пространство
Линейное пространство называется линейным нормированным пространством (ЛНП), если каждому элементу x, поставлено в соответствие число || x ||. Это число называется нормой элемента, и удовлетворяет следующим аксиомам (аксиомам нормы).
2
A1. x E |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
0 x 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A2. |
x E, R |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A3. |
x, y E |
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Пусть C[a; b] – множество всех функций s(t), непрерывных на отрезке t [a;b]. Данное множество является линейным пространством.
! Доказать самостоятельно, что для множества C[a; b] выполняются аксиомы линейного пространства А1-А7.
3
Определим норму для элементов этого пространства следующей формулой.
b
s 
s2 (t) d t
a
Покажем, что выполняется для этой нормы аксиома А3. Воспользуемся теоремой Минковского, известной в анализе как неравенство Минковского для интегралов.
Теорема 1 (Неравенство Минковского).
Пусть для p≥1 и функций x(t) и y(t) существуют интегралы.
4
|
|
|
|
|
b |
|
|
p dt, |
|
b |
|
|
p dt |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x(t) |
|
|
|
y(t) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда существует интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| x(t) y(t) |p dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
причём верна оценка: |
1/ p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ p |
|
|
|
|
|
|
|
|
p 1/ p |
||||||
|
b |
|
|
p |
b |
|
|
|
p |
|
|
b |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x(t) y(t) |
dt |
|
|
|
|
x(t) |
|
dt |
|
|
|
|
|
y(t) |
|
dt |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
||||||||||
В нашем случае надо положить p = 2 , и аксиома А3 доказана |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
!Аксиомы А1 и А2 доказать самостоятельно. |
|
|
|
5 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метрика (расстояние)
ЛП называется метрическим пространством, если каждой паре элементов ( x, y ) поставлено в соответствие неотрицательное число ( x, y ), называемое метрикой (расстоянием), удовлетворяющее следующим аксиомам (аксиомам метрики).
A1. ( x, y) ( y, x)
A2. ( x, y) 0 x y
A3. ( x, y) ( x, z) ( z, y)
Обычно метрику вводят следующим образом:
( x, y ) 
x y 
6
Открытым шаром с центром x E и радиусом r > 0 в метрическом пространстве E называется множество
Sr (x) {y E | (x, y) r}
Замкнутым шаром с центром x E и радиусом r > 0 в метрическом пространстве E называется множество
Sr (x) {y E | (x, y) r}
7
Сферой с центром x E и радиусом r > 0 в метрическом пространстве E называется множество
r (x) {y E | (x, y) r}
- окрестностью (эпсилон - окрестностью) элемента x называется открытый шар S (x) радиуса .
Множество X называют ограниченным, если существует шар конечного радиуса R < , который содержит в себе все элементы множества X E .
8
В линейном нормированном пространстве (ЛНП) Е пределом последовательности {xn } E называется элемент a E , если выполняется соотношение
lim (xn ,a) lim |
|
|
|
xn a |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Это равносильно следующему выражению
a lim xn
n
Предельной точкой множества M E называется элемент a E , если в любой окрестности a содержится хотя бы одна точка x M , отличная от a . То есть
r 0 : (Sr (a) \ a) M
Здесь выражение Sr(a)\a означает открытый шар без центра.
9
Теорема 2. Для того чтобы элемент a из ЛНП E был предельной точкой множества M E , необходимо и достаточно существование последовательности {xk }
{xk }, xk M , |
xk a |
сходящейся к a :
limk xk a
Пусть M – подмножество в ЛНП E, а M' – множество всех предельных точек M. Объединение множеств
M M M
называется замыканием множества M.
Замкнутое линейное многообразие L в ЛНП E, L E,
называется подпространством.
10