Пример. Если в качестве ЛНП взять трехмерное декартовое пространство, то любая плоскость в этом пространстве будет подпространством.

Аналогично вводится и расстояние от точки x множества E до произвольного подмножества M E.

(x, M ) inf x u

u M

Элемент u L, где L – подмножество из ЛНП E, называется

элементом наилучшего приближения (ЭНП) для произвольного элемента x E, если выполняется равенство

(x, L) x u

Другими словами элементом наилучшего приближения к элементу x является тот элемент u , из подмножества L , который расположен ближе всего к элементу x.

Пример. Если в качестве ЛНП E взять трехмерное декартовое пространство, а в качестве подмножество L плоскость, то ЭНП

u будет являться проекцией элемента x на плоскость L .

12

Банахово пространство

Пусть E - ЛНП. Последовательность {xn } E называется

фундаментальной, если

Для случая E = R (множество действительных чисел) в курсе математического анализа был доказан критерий Коши: числовая последовательность {xn } сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

13

Справедлив ли критерий Коши в произвольном ЛНП? Можно показать, что любая сходящаяся последовательность является фундаментальной, а обратное, вообще говоря, не верно.

Линейное нормированное пространство (ЛНП) называется полным, если в нём сходится всякая фундаментальная последовательность.

Полное ЛНП , называется банаховым пространством.

Пример. Простейший пример банахова пространства – множество вещественных чисел R с нормой

x x

14

Пример. Неполное ЛНП – это пространство непрерывных на отрезке [0, T] функций с нормой

T

x x2 (t) d t

0

Из теории рядов Фурье известно, что любую разрывную, кусочно-гладкую функцию f(t) можно представить на отрезке длины T в виде ряда Фурье, сходящегося к функции во всех точках непрерывности и к среднему значению функции в точках разрыва

15

это непрерывные функции, однако, последовательность {sn (t)} не является сходящейся в пространстве непрерывных функций, т.к. сходится к разрывной функции

Пусть X - ЛНП (не обязательно банахово), а {xn }- некоторая последовательность в X . Тогда рядом в X называется формально составленная бесконечная сумма.

n – ной частной суммой ряда называется сумма

Ряд называется сходящимся в ЛНП X , если сходится последовательность {sn }

Элемент s X называется суммой ряда и обозначается так

Скалярное произведение

Линейные пространства (ЛП) называют также векторными пространствами, а элементы линейного пространства называют векторами.

Обобщим понятие скалярного произведения, известное из курса аналитической геометрии, на произвольные векторные пространства.

ЛП называется евклидовым, если каждой паре элементов ( x, y ) поставлено в соответствие вещественное число

< x, y >, называемое скалярным произведением, удовлетворяющее следующим аксиомам:

18

Лемма. Норма, введенная соотношением

x x, x

удовлетворяет неравенству Коши – Буняковского

x, y x y

!Самостоятельно доказать лемму. Для доказательства

С помощью леммы докажем выполнение аксиомы А3. Так как

x y2 x y, x y x, x 2 x, y y, y x 2 2 x, y y 2 x2 2 x, y y2

20