Лекция 11
Свойства некоторых аналоговых фильт
Напомним, что частотные свойства аналогового фильтра определяются передаточной функцией (или функцией передачи) H(s) где s - комплексное число.
Комплексный коэффициент передачи фильтра и
передаточная функция H(s) связаны соотношением.
K ( ) H (i ) (1)
1
АЧХ и ФЧХ фильтра находят как модуль и фазу комплексного коэффициента передачи.
A( ) K ( ) ,
(2)
( ) arg K ( )
Свойства фильтра определяются или коэффициентами ai , bi основного уравнения фильтра,
a |
d n y |
a |
|
d n 1 y |
a |
d y |
a |
|
y(t) |
|
||
n dt n |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
n 1 |
dt n 1 |
|
1 dt |
|
0 |
|
|
(3) |
||
|
|
b |
d m x |
b |
d m 1 x |
b |
dx |
b x(t) |
||||
|
|
|
m dt m |
m 1 dt m 1 |
|
|
1 dt |
0 |
||||
или нулями и полюсами zi , pi функции передачи. |
2 |
|
Передаточная функция, выраженная через коэффициенты ai , bi , имеет вид.
|
b sm b |
m 1 |
sm 1 |
b s b |
||||||
|
m |
|
|
1 |
0 |
(4) |
||||
H (s) a |
n |
sn a |
n 1 |
sn 1 |
a s a |
0 |
||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
Передаточная функция, выраженная через нули и полюса, имеет вид.
H (s) k |
(s zm )(s zm 1 ) (s z1 ) |
(5) |
|||||
(s p |
n |
)(s p |
n 1 |
) (s p ) |
|||
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|||
3
Фильтр Чебышева первого рода
Фильтр Чебышева первого рода является фильтром нижних частот. Передаточная функция этого фильтра не имеет нулей, а ее полюсы расположены в левой половине эллипса на комплексной s - плоскости.
На рисунке показаны полюсы фильтра Чебышева первого рода 5 – го порядка.
4
Poles of Chebyshev type I filter
1.5
Im(s)
1
0.5
Re(s)
0
0.5
1
1.5 |
1 |
0.5 |
0 |
0.5 |
1 |
1.5 |
1.5 |
5
Фильтр Чебышева первого рода имеет простые полюсы в точках
pk pk ipk , |
k 1, 2, , n (6) |
Здесь штрихи обозначают действительную и мнимую части комплексного числа p .
p Re( p), |
p Im( p) (7) |
Полюсы определяются следующими формулами.
6
(2k 1)π |
||||
pk a sin |
2n |
|
, |
|
|
|
|
||
1 |
||||
a |
2 |
|
, b |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|||
|
||||
|
|
2 |
||
|
|
|||
|
|
|||
|
|
|
|
|
pk b cos
1 ,
2
1
n
(2k 1) , 2n
(8)
Параметр определяет величину пульсаций АЧХ в полосе пропускания. Число n определяет порядок фильтра. Легко проверить, что полюса (6) лежат в комплексной плоскости на эллипсе, уравнение которого имеет вид:
|
k |
|
|
|
|
k |
|
|
(9) |
|
p |
|
2 |
|
|
p |
2 |
1 |
|
|
a2 |
|
|
b2 |
|
7 |
|||
Используя связь (1) между передаточной функцией H(s) и
комплексным коэффициентом передачи K( ), находим комплексный коэффициент передачи.
K ( ) H (i ) |
|
k0 |
|
|
(10) |
(i p )(i p |
) (i p |
) |
|||
|
1 |
2 |
n |
|
|
Нормировочный коэффициент k0 выбирается из условия, чтобы АЧХ фильтра в точке =0 равнялась единице A(0) = 1.
Простые, но громоздкие вычисления позволяют получить для АЧХ фильтра Чебышева первого рода простую аналитическую формулу.
8
A( ) |
1 |
|
|
|
(11) |
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
1 2Tn2 |
/ 0 |
|
|||||
|
|
|
|||||
Здесь 0 - частота среза, Tn (x) - полином Чебышева n - го порядка.
Полином Чебышева n -го порядка определяется следующими формулами.
cos(n arccos( x)), |
|
|
x |
|
|
1, |
|
|
|||||
Tn (x) |
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
ch(n arch(x)), |
|
|
|
|
(12)
9
Для полиномов Чебышева существует также рекуррентная формула.
Tn 1 (x) 2 x Tn (x) Tn 1, |
n 1, 2, |
T0 (x) 1, T1 (x) x |
(13) |
|
С помощью рекуррентной формулы (13) найдем некоторые из полиномов Чебышева.
T (x) 2x2 |
1, |
|
|
2 |
|
(14) |
|
T (x) 4x3 |
3x, |
||
|
|||
3 |
|
|
|
T (x) 8x4 |
8x2 1 |
|
|
4 |
|
10 |
|
|
|