Следствие из свойств 3, 4. Инвариантность амплитудного спектра относительно циклических сдвигов. При любом циклическом сдвиге амплитуда компонентов ДПФ не меняется.
Yn X n
Доказательство. Используем результаты циклических сдвигов, отмеченные в формулах (19), (23), (24). Объединим эти результаты в виде формулы.
Yn e |
i 2 |
n m |
X n , m Z |
(25) |
N |
|
|||
|
|
|
|
33
Теперь вычислим модуль от выражения (25).
|
Yn |
|
|
|
e |
i 2 |
n m |
X n |
|
|
|
e |
i |
2 n m |
|
X n |
|
|
|
X n |
|
, |
m Z |
(26) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
N |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В формуле (26) учтено, модуль фазового множителя равен единице. Действительно по определению модуля комплексного числа имеем.
ei x 2 ei x e i x 1
Следствие доказано.
34
Определение. Под сверткой двух векторов a (a0 , a1, , aN 1 ) и
b (b , b , , b |
)с периодом N , будем понимать вектор |
|||||
c (c |
0 |
1 |
N 1 |
|
2N вдвое большим. Причем компоненты |
|
, c , с периодом, c ) |
||||||
0 |
1 |
N |
1 |
|
|
|
вектора-сверки определяются следующими формулами. |
||||||
|
|
N 1 |
|
|
N 1 |
|
|
ck |
anbk n |
ak nbn , |
k 1, , 2N 1 (27) |
||
|
|
n 0 |
|
|
n 0 |
|
5. ДПФ свертки векторов. Вектор являющийся сверткой |
|
двух других векторов имеет ДПФ равный произведению ДПФ |
|
исходных векторов. |
N 1 |
if a A, b B, |
ck anbk n , |
|
n 0 |
then |
|
c C, |
(28) |
where |
|
Ck Ak Bk |
35 |
Доказательство. Дополним векторы a и b нулями, чтобы они имели период 2N .
a (a |
, a , , a |
N 1 |
, 0, |
,0), |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
N |
b (b , b , , b |
, 0, |
,0) |
|
0 1 |
N 1 |
|
|
N
Выпишем ДПФ для этих векторов.
2 N 1 |
|
2 |
|
|
i 2 N k n |
||
Ak an e |
|||
n 0 |
|
|
|
2 N 1 |
|
2 |
|
i 2 N k n |
|||
Bk bn e |
|||
n 0
, k 0, 1, , 2N 1,
(29)
, k 0, 1, , 2N 1
36
Для удобства введем обозначение
|
i |
2 |
(30) |
|
e |
2 N |
|||
|
|
Выпишем ДПФ вектора-свертки с использованием формул (28), (29), (30).
2 N 1 |
i |
2 |
|
k n |
2 N 1 |
N 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||||
Ck cn e |
2 N |
|
|
|
|
|
|
k n |
|
|||
|
|
|
|
ambn m |
|
|||||||
|
n 0 |
|
|
|
|
|
n 0 |
m 0 |
|
|
|
|
N 1 |
2N 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(31) |
||
|
|
bn m |
|
|
k n |
|
|
|
|
|
||
am |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
m 0 |
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37
В формуле (31) изменен порядок суммирования. В сумме в скобках (31) сделаем замену индексов
n m l,
n 0, 1, , 2N 1 l m, 1 m, , 2N 1 m
В результате получи выражение:
N 1 |
|
Ck am |
|
m 0 |
|
2N 1 m |
|
|
N 1 |
k m |
2N 1 m |
k l |
|
|
k (m l ) |
am |
(32) |
||||
bl |
|
|
bl |
|
|||
n m |
|
|
m 0 |
|
l m |
|
|
38
Теперь учтем, что компоненты векторов a и b отличны от нуля только для следующих значений индексов l.
al 0, bl 0, |
l 0, , N 1 |
Поэтому b 0 |
для l 0 или для l N - 1 . Таким образом, |
||||
l |
|
|
|
|
|
формула (32) принимает вид. |
|
|
|
|
|
|
N 1 |
|
N 1 |
|
|
Ck am |
k m |
bl |
k l |
(33) |
|
|
|
|
|||
|
m 0 |
|
l 0 |
|
|
39
Далее, так как al 0, bl 0 для l N – 1, то суммы в (33) не изменяться, если в них добавить нулевые члены. Поэтому в этих суммах верхние пределы можно увеличить до 2N – 1 . Выпишем эти суммы. При этом учтем, чему равен параметр (30), и явный вид ДПФ векторов a и b (29) .
N 1 |
2 N 1 |
2 |
|
|
|
|
|
||
am k m |
am e i 2 N k m |
Ak |
||
m 0 |
m 0 |
|
|
|
(34)
N 1 |
2 N 1 |
2 |
|
|
|
|
|
||
bl k l |
bl e i 2 N |
k l |
Bk |
|
l 0 |
l 0 |
|
|
|
40
С учетом формул (34) выражение (33) принимает искомый вид.
Ck Ak Bk
Свойство доказано.
искретное преобразование Фурье и спектр сигнало
Рассмотрим, какую роль играет дискретное преобразование Фурье в спектральном описании сигналов. Начнем с дискретного сигнала. Как мы знаем, спектр дискретного сигнала выражается формулой.
SD ( f ) |
1 |
|
i |
n |
f |
|
|||||
|
sn e |
|
F |
(35) |
|
|
2F n |
|
|||
|
|
|
|
||
41
Здесь F - частота Найквиста, а sn отсчеты дискретного сигнала. Предположим, что дискретный сигнал определен конечным набором отсчетов.
{sn }, n 0, , N 1
Другими словами для n 0 или для n N – 1 можно считать sn 0 . Поэтому ряд (35) заменяется конечной суммой.
SD ( f ) |
1 |
N 1 |
i |
n |
f |
|
|
(36) |
|||||
|
sn e |
|
F |
|||
|
|
|
|
|
||
2F n 0
42