Заменим последовательность sn другой |
|
последовательностью xn |
по правилу. |
s |
|
N |
xm , |
m 0, 1, , N 1 |
(53) |
|
m |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
В этом случае спектр сигнала (52) принимает вид
|
1 |
|
|
2 |
|
N |
1 |
|
N 1 |
|
2 |
|
|
|
|
i |
|
k |
2 |
|
i |
k m |
(54) |
||||
|
|
N |
|||||||||||
|
|
N |
|||||||||||
S( fk ) |
e |
|
|
|
|
xm e |
|||||||
2F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
m 0 |
|
|
|
|
Сумма в (54) внешне похожа на ДПФ для последовательности xn .
Выпишем эту сумму.
53
~ |
N 1 |
i |
2 |
k m |
(55) |
|
N |
||||
X k xm e |
|
|
|
|
|
m 0
Отличие суммы (55) от настоящего ДПФ, приведенного в формуле (2), состоит в следующем. В настоящем ДПФ индекс k принимает следующие значения.
k 0, 1, |
, N 1 |
(56) |
|
В сумме (55) индекс k принимает другие значения.
|
N |
|
N |
(57) |
||
|
|
|
|
|
||
k |
2 1, |
, 1, 0, 1, , |
2 |
|||
|
||||||
54
Разобьем этот интервал на две части. Рассмотрим сначала правую часть этого интервала
k 0, 1, , |
N |
(58) |
|
2 |
|||
|
|
Интервал (58) содержится в интервале (56) , поэтому для значений (58) сумма (55) совпадает с ДПФ.
~ |
(59) |
X k X k |
Итак, для интервала (58) получаем связь между спектром и ДПФ
S( fk ) 1 e |
i |
2 |
|
N |
|
|
k 0, 1, , N |
|||
N |
2 |
|
Xk , |
|||||||
|
|
|
|
k |
|
1 |
|
|
|
|
|
2F |
|
|
|
|
|
|
2 |
||
(60)
55
Таким образом, мы получили формулу для вычисления половины спектра.
Теперь рассмотрим левую часть интервала (57)
k |
N |
1, |
, |
1 |
(61) |
2 |
|
Сделаем замену индексов в уравнении (55).
|
|
k N l, |
|
|
|
|
|
k |
N |
1, , 1 |
l |
N |
1, |
, N 1 |
(62) |
2 |
2 |
|
56
Сумма (55) в этом случае примет вид
~ |
N 1 |
|
|
i |
2 |
(l N )m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|||
Xl N xm e |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
m 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(63) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
N 1 |
i |
l m |
|
|
|
N 1 |
|
i |
l m |
||
xm e |
N |
e |
i 2 m |
xm e |
N |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
m 0 |
|
|
|
|
|
|
m 0 |
|
|
|
|
Последняя сумма в (63) является ДПФ, так как интервал изменения индекса l (62) содержится в интервале (56). Поэтому формула (63) принимает вид
~ |
|
N |
(64) |
|
|
|
|||
X l N X l , |
l |
|
1, , N 1 |
|
2 |
||||
|
|
|
57
Подставляя (64) в формулы (55), (54) для интервала (61) получаем связь между спектром и ДПФ
|
1 |
|
|
2 |
|
N |
1 |
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
i |
|
l |
|
|
|
|
|
, N 1 (65) |
||||
S( fl N ) |
e |
N |
2 |
X l , |
l |
1, |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
2F |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
Таким образом, мы получили формулу для вычисления второй половины спектра.
! Доказать самим соотношение (65).
Итак формулы (60) и (65) устанавливают связь между дискретным спектром финитного непрерывного сигнала и ДПФ.
58