Спектр дискретного сигнала (36) является непрерывной периодической функцией с периодом 2F . На периоде [0, 2F] выберем N дискретных значений частоты f. Эти значения определим следующим образом.
fk k f , |
f |
2 F |
, |
k 0, , N 1 |
(37) |
|
N |
||||||
|
|
|
|
|
В формуле (37) величина f называется шагом частотной дискретизации. Подставим дискретные значения частоты (37) в формулу спектра (36). В результате получим.
SD ( fk ) |
1 |
N 1 |
i |
n |
fk |
|
1 |
N 1 |
i |
2 |
n k |
|
|
|
|||||||||
|
sn e |
|
F |
|
sn e |
|
N |
||||
|
2F n 0 |
|
|
|
|
2F n 0 |
(38) |
||||
43
Мы видим, что сумма, стоящая в формуле (38) является ДПФ для последовательности sn .
N 1 |
i |
2 |
n k |
|
|
|
(39) |
Sk sn e |
|
, |
k 0, |
, N 1 |
|||
N |
|||||||
|
|
|
|
n 0
Сравнивая формулы (38) и (39) получаем соотношение.
SD ( fk ) |
1 |
Sk |
(40) |
|
2F |
||||
|
|
|
44
Таким образом, дискретный спектр |
SD ( fk ) дискретного |
||
сигнала |
sn |
выражается через ДПФ Sk |
от дискретного |
сигнала |
sn |
по формуле (40). Если ввести векторы дискретного |
|
сигнала и его дискретного спектра с периодом N .
s(s0 , s1, , sN 1 ),
SD (SD ( f0 ), SD ( f1 ), , SD ( fN 1 ), )
то связь (40) можно изобразить в виде.
s 2F SD |
(41) |
45
Теперь рассмотрим, как связано дискретное преобразование Фурье со спектром непрерывных сигналов. Спектр непрерывного сигнала определяется преобразованием Фурье.
|
i 2 f t |
|
|
|
S( f ) s(t) e |
d t, |
(44) |
||
|
||||
|
|
|
Рассмотрим финитный сигнал s( t ). Выберем временной интервал t [ -T/2, T/2 ] такой, чтобы вне этого интервала сигнал равнялся нулю s( t ) = 0.
46
|
Finite signal |
|
|
|
s(t) |
|
|
T/2 |
0 |
T/2 |
t |
47
Тогда спектр S( f ) такого сигнала будет равен интегралу с конечными пределами.
T / 2 |
i 2 f t |
|
(45) |
|
S( f ) s(t)e |
d t |
|||
|
|
T / 2
Проведем дискретизацию сигнала с шагом дискретизации
t TN
где N для удобства четное число. Отсчеты сигнала sn s(tn ) берем в дискретные моменты времени
tn n t, n N2 1, 1, 0,1, N2
48
В методе прямоугольников интеграл (3) заменяем следующей суммой
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
S( f ) sn |
e i 2 n f |
t t |
(46) |
||||||||||||||||
|
|
n |
|
N |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Выразим шаг дискретизации через частоту Найквиста |
|||||||||||||||||||
|
|
t |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 F |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда формула (46) примет вид |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
i |
f |
|
||||||
S( f ) |
|
|
|
|
|
sn e |
|
F |
(47) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2F n |
N |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
49 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравним формулу (47) с выражением (36) для спектра дискретного сигнала. Мы видим, что формулы очень похожи.
Отличие в способе нумерации отсчетов дискретного сигнала. В формуле (36) отсчеты нумеруются следующим образом.
s0 , s1, , sN 1 |
(48) |
В формуле (47) нумерация другая.
s |
N |
1 |
, s |
N |
2 |
, , s N |
|
||
|
|
|
|
|
|
(49) |
|||
2 |
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
50
Обычно нас интересует спектр, как для положительных значений частоты f 0 ,так и для отрицательных значений частоты f 0. Поэтому, определим дискретные значения частоты следующим образом:
fk k f , |
f |
2 F |
, |
k |
N |
1, |
, |
N |
(50) |
N |
2 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Подставляем дискретные частоты (50) в формулу (47) и получаем:
|
1 |
|
N |
|
|
|
2 |
|
|
|
N |
|
|
N |
|
|
|
2 |
|
|
i |
n k |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
||||||||
S( fk ) |
|
sn e |
|
|
|
, |
k |
|
1, |
, |
|
(51) |
||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||||
|
2F n |
N |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
51
Чтобы сумме в выражении (51) придать вид ДПФ, сделаем
замену индексов.
n N2 1 m,
n |
N |
1, , |
N |
m 0, 1, , N 1 |
|
2 |
2 |
||||
|
|
|
В результате формула (51) примет вид
|
|
|
1 |
|
N 1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
N |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
k m |
|
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
2 |
|
|
|||||||||||
S( fk ) |
|
s |
|
N |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2F m 0 |
m |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(52) |
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
N |
|
N 1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
i |
|
|
|
k |
|
1 |
|
|
|
|
|
i |
k m |
|
||||||||
|
|
N |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
||||||||||||||
|
e |
|
|
|
|
s |
N |
|
e |
|
|
||||||||||||
2F |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m 0 |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
52